2.1.1 离散型随机变量学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系．知识点一随机变量思考1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？答案可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．思考2 在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？答案x＝0,1,2,3， (10)梳理(1)定义在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．知识点二随机变量与函数的关系相同点随机变量和函数都是一种一一对应关系区别随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应，函数是实数到实数的一一对应联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域知识点三离散型随机变量1．定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．2．特征：(1)可用数字表示．(2)试验之前可以判断其出现的所有值．(3)在试验之前不能确定取何值．(4)试验结果能一一列出．1．离散型随机变量的取值是任意的实数．( ×)2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( √)3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( ×)类型一随机变量的概念例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．考点随机变量及离散型随机变量的概念题点随机变量的概念解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，故是随机变量．反思与感悟随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．跟踪训练1 掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和考点随机变量及离散型随机变量的概念题点随机变量的概念答案 B解析掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.类型二离散型随机变量的判定例2 下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念答案 C解析①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；③是，1小时内网站的访问次数可一一列出；④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．故选C.反思与感悟“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．(2)由条件求解随机变量的值域．(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．跟踪训练2 ①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③体积为1 000 cm3的球的半径长；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念答案 B解析由题意知③中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而①②④是离散型随机变量．类型三用随机变量表示随机试验的结果例3 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果解(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，...，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4， (11)(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．跟踪训练3 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)从学校回家要经过3个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值解(1)ξ可取0,1,2,3，ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．1．下列变量中，不是随机变量的是( )A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数考点随机变量及离散型随机变量的概念题点随机变量的概念答案 B解析B中水沸腾时的温度是一个确定的值．2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率考点随机变量及离散型随机变量的概念题点随机变量的概念答案 C解析对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B，D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．3．下列叙述中，是离散型随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念答案 C4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值答案17解析X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个．5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果解根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )A．两次掷得的点数B．两次掷得的点数之和C．两次掷得的最大点数D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差考点随机变量及离散型随机变量的概念题点随机变量的概念答案 A解析两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( ) A．0≤X≤5，x∈NB．－5≤X≤0，x∈ZC．－1≤X≤6，x∈ND．－5≤X≤5，x∈Z考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值答案 D解析两次掷出点数均可取1～6所有整数，所以X∈[－5,5]，x∈Z.3．下列变量中，离散型随机变量的个数为( )①在2 012张已编号(从1号到2 012号)的卡片中取一张，被取出的号码为ξ；②在2 012张已编号(从1号到2 012号)的卡片中任取三张，被取出的号码和为X；③某加工厂加工的某种铜管，外径与规定的外径尺寸之差Y；④投掷一枚骰子，正面向上的点数为ξ.A．1 B．2 C．3 D．4考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念答案 C解析③中Y取值在某一区间内，不是离散型随机变量．4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果答案 C解析ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.5．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示的试验的结果为( )A．第一枚为5点，第二枚为1点B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点C．第一枚为6点，第二枚为1点D．第一枚为4点，第二枚为1点考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果答案 C6．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是( )A．Y＝5 B．Y＝4C．Y＝3 D．Y＝2考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值答案 B7．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为( )A．6 B．5 C．4 D．2考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值答案 B解析由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B.8．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( ) A．24 B．20 C．4 D．18考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值答案 A解析由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．9．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为( ) A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果答案 D解析由题意，得ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k ＋1次检测到的是次品，故选D.二、填空题10．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号)①某宾馆每天入住的旅客数量X；②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；④虎门大桥一天经过的车辆数X.考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念答案②11．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为________．考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值答案1,2,3,4,5,6,7解析由于取到是白球时，取球停止，所以取球次数可以是1,2,3， (7)12．一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果答案21解析ξ＝8表示在3个篮球中，一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C27种方法，即21种．三、解答题13．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分．设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值解ξ的可能取值为0,1,2.ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．四、探究与拓展14．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值答案－300，－100,100,300解析∵答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300. 15．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的取值解(1)(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为{6,11,16,21}，显然η为离散型随机变量．。