y
（2，1）
1S
o
1
x
o
1 2x
-1
19
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4.1.2 定积分的性质
经济应用数学
若 f(x),g(x)在区间a,b上可积，则 f(x)g(x),
k f ( x ) 在 a , b 上也可积，且
性质1 性质2
b
b
akf(x)dxka f(x)dx
b f(x ) g (x )d xbf(x )d xbg (x )d x
设函数2定f 、(义x定4) .积在1分a 的, b 定上义有定义，用分点
a x 0 x 1 x 2 L x n 1 x n b
将区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，[ xi1, xi ] (i1,2,3,Ln)
记 xi xi xi1,m 1ian{xxi},(i1,2,3,Ln) 在每个小区间 [ xi1, xi ] 内任取一点 i(xi1i xi),
d
b
则 f(x)dx f(x)dx
c
a
2．利用定积分的性质，比较下列两组定积分的大小．
1
（1） x d x 与
1 x 2dx
0
0
（2） 4 c o s xd x 与 0
4 sin xdx
0
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经济应用数学
1、（1）√ （2）×
2、（1） 解 因为在区间 [ 0 , 1 ] 上有 x x 2
n
n
ssi vi ti
i1
i1
④ 取极限—化近似为精确
n
m 1ian{xti },
S
lim
0
i1
v(i
)ti
.
9
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曲边梯形的面积:
n
Slim 0 i1
f(i )xi.
变速直线运动的路程:
n
Slim v( 0 i1
i )ti.
经济应用数学
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a
就等于由曲线 y f(x), 直线 xa,xb 及 x
轴所围成的几个曲边梯形的面积的代数和.
y
A1
A3
a A2 0
b
A4
x
b
af(x)dxA 1A 2A 3A 4
17
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经济应用数学
例1.1 利用定积分的定义或几何意义判定
（1） 1xdx1x2dx 1x3dx
0
0
0
（2）若 f(x)sinx，则
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4.1 定积分的概念及性质
4第.14.章1 定积积分分的学概念
4.1.2 定积分的性质
1
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第4章 积分学
经济应用数学
学习目标
理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握不定积分 基本公式和基本性质，掌握求不定积分的方法．理解 定积分的概念，掌握定积分的性质，会求变上限函数 的导数，熟练掌握定积分的计算．会用定积分计算平 面图形的面积，会用定积分解决一些常见的经济问题． 理解二重积分的概念和性质，掌握二重积分在直角坐 标系和极坐标系下的计算．
x i1
xi
i
当 x i (i1,2,,n)较小时，Ai fixi(i1,2,,n)
③ 求和— 积零为整
n
当 x i (i1,2,,n)较小时，A f (i )xi i1
6
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④ 取极限—化近似为精确
令 m 1ianx{xi}, 当 0 时
n
Alim 0 i1
f(i )xi
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7
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（2） 变速直线运动的路程
经济应用数学
设物体作直线运动,已知速度 v v(t) 是时间段 [T1,T2 ] 上的连续函数,且 v(t) 0,计算在这段时间内物体所经过的
路程.
对匀速直线运动： 路程=速度×时间.
对变速直线运动： ① 分割—化大为小
T1
T2
t 0 t1 t2 t i1 t i tn1 tn t
过每个分点作y轴的平行线，将曲边梯形A分为n个小曲边梯形:
A i (i1,2,3Ln.)
5
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y经f(x济) 应用数学
② 近似代替—以直代曲
在小区间 [xi 1,xi](i 1 ,2 ,3 ,Ln )
LL
内任取一点 i , 以 f (i )为高作矩形,
其面积为：f (i )xi (i1,2,,n)
T 1 t0 t 1 L ti 1 ti L tn T 2 ,
ti ti ti1 (i1,2,,n)
8
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② 近似代替—以不变代变
si v(i)ti
③ 求和—积小为大
经济应用数学
T1
v( i )
T2
t 0 t 1 t 2 t i 1 i t i t n 1 t n t
一、 √ × √
经济应用数学
二、（1）积分区间，被积函数，积分变量
2
（2）正；（3） sinxdx sinxdx
0
三、
（1）
2
2xdxBA3
1
B
A
32
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（2） 1 1x2dxA2
0
4
经济应用数学
A
四、解：
Q m inex2 1 ,m axex2 e9 x 0,3
则乘积 f (i )xii1,2,3,L,n的总和为
n
Sn f (i )xi i1
11
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经济应用数学
若不论对区间 a , b 采取何种分法，也不论 i 在 a , b 中如何取法, 只要当 0 时， 极限
n
lim
0 i1
f (i )xi
存在，则称函数 f ( x ) 在区间 a , b 是可积的。
的选取无关.
b
b
b
af(x )d xaf(t)d t af(u )d u
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经济应用数学
（3）在定积分的定义中，我们假定a<b，为今后使用方便， 我们规定：
b
(1a )b, af(x)d x0;
b
a
(2) af(x)dx-bf(x)dx
14
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x — 积分变量
（2） 解
1
xdx 1x2dx
0
0
因为在区间 [ 0 , ] 上有 cosxsinx 4
4cosxdx 4sinxdx
0
0
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练习题
经济应用数学
一、判断题
（1）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，则
b
b
a f(x)dxa f(t)dt0
b
（2）若 f (x)dx 0 ，则 f (x) 0 a
2
f (x)dx 0
0
2 1.5
1 0.5
-2
-1
-0.5
-1
1 0.5
1
2
3
4
5
6
1
2
-0.5
-1
18
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例1.2 利用定积分的几何意义求
经济应用数学
1
1
0 (2x1)dx
2
(2) 0 (x1)dx
解 如图（1）
如图（2）
1 (2x 1)dx
(1
3)
1
2
0
2
y
(1,3)
2
0 (x 1)dx 0
23
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经济应用数学
该性质也称为积分中值定理．它的几何意义是：
至少存在一个以 [a, b] 为底，以 f ( ) 为高的矩形的
面积 f ()(ba)与以区间 [a, b] 为底，曲线 y f(x)
f (x) 0 为曲边的曲边梯形的面积相等．
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（3）在区间 [0,2 ] 上，曲线 y sinx 和 x 轴所围成
的图形面积用定积分表示为 __________
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三、利用定积分的几何意义计算
2
(1) 2xdx 1
1
(2)
1 x2dx
0
四、证明不等式
3 3ex2dx3e9 0
经济应用数学
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练习题答案
b
b
a f(x)dxag(x)dx
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例1.3 比较下列两个积分值的大小