Option price
B
Slope =
A Stock price
34
Delta对冲例子
•一个交易员卖出100,000单位的欧式看涨期权。 •基础资产为某种无股息的股票 •假定交易员卖出期权而得到收入300,000美元 •S0 = 49, K = 50, r = 5%, = 20%, T = 20 周,
波动率变化的比率
Vega P
Vega中性对冲
• 在某个交易组合中加入某个交易所期权会改变交 易组合的Vega。
• 假定某交易组合的Vega为V，而某一交易所期权的 Gamma为VT，将wT 数量的期权加入到交易 组合中，可产生新的交易组合的Vega为0。
• 一个Gamma中性的交易组合一般不会是Vega中性， 投资人想使交易组合同时达到Gamma中性和Vega中 性，就必须引入与标的产品有关的两种不同的衍 生产品
2、波动性方法
假设某种金融资产收益率r为随机变量，该资产 的风险可用收益率标准差σ即波动率来度量。
σ越大说明该资产面临的市场风险越大，反
之则反是。
6
日波动率与年波动率
• 假设Si为市场变量的时间i的价格，每天的波动率
为 ln(Si Si1)
的标准差。
• 研究证明在交易所开盘交易时的波动率比交易所 关闭时的波动率要大很多，因此，当由历史数据
• Gamma 被定义为交易组合价格对于基础资产价格 的二阶偏导数
Gamma
2P S2
• 对于一个Delta中性的交易组合：
P Q t + ½GS 2= ½GS 2
构造交易组合的gamma中性
• 线性产品的gamma为0，改变交易组合的gamma必须 采用价格与基础资产价格呈非线性关系的产品， 如期权。
β系数与资本资产定价模型
1. β系数的公式表示
根据CAPM（ capital asset pricing
model ），
在证E券(ri市) 场rf 处 于i (E均(r衡M )状 r态f ) 时，
i
其中，
Cov(ri , rM Var(rM )
)
即为β系数。
51
β系数和风险因子敏感系数
β系数的理解
市场风险的度量
内容提要
• 测度市场风险的传统方法 • VaR的定义和计算公式
测度风险： 历史回顾
• 名义数量法衡量债券和投资组合的名义数量，如 价格，收益、损失等。如图
• 缺点在于
▫ 无法区分短期和长期。 ▫ 无法反映价格的波动和价格之间的相关性。 ▫ 市场风险真正的数额和名义金额往往差异很大。 ▫ 卖空
• 对冲机制以合成的形式构造出一买入期权交易， 而这一“合成”期权会用于对冲交易员的卖空交 易。
• 对冲机制会造成在价格下跌后股票被卖出，而在 价格上升后股票被买入，这正是所谓的“买高卖 低”。
（2）Gamma中性
• Gamma (G) 是指交易组合的delta () 变化与基 础资产价格变化的比率
2
，n 从而lim n
2 P
0
。
2. 若 ij ,则
2 P
2
n
2
n2
ij
i j
2,
n
10
波动性方法的优缺点评述
1. 优点：含义清楚，应用也比较简单。 2. 缺点：
✓ 仅描述资产组合未来收益的波动程度，并不能 说明资产组合价值变化的方向;
11
3、敏感因子度量（Factor Sensitivity Measures）
✓ βi系数实际上反映了证券I 的超额期望收益率
对市场组合超额期望收益率的敏感性；
✓ 当β系数取正值时，说明所考察的证券与市场组
合的走势刚好一致，反之则反是；
✓ β系数满足可加性。
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β系数和风险因子敏感系数
(二) 风险因子敏感系数和套利定价模型 1. 风险因子敏感系数来源于Ross于1976年提出
合价值不受价格较大变化的影响。
• 例：假定一交易组合为Delta中性，其Gamma量为3000，而对应交易所50。请问如何进行对冲及平衡保持 Delta中性和Gamma中性。
（3）Vega中性
• Vega (n) 是指交易组合价值变化与基础资产价格
资产价格的波动率。
21
期权的灵敏度测量
2.期权定价公式的泰勒展开
F
F S
S
1 2
2F S 2
(S)2
F t
t
F r
r
F
22
3.期权灵敏度指标的含义解析
F
S
2F S 2
S
F
t
F
F
r
23
例：远期合约的敏感度量
提供收益率y的远期的价值
St = 证券或商品的价格 FT = 远期价格 t, T = 当前时间和交割时间 r =无风险收益率 y = 证券的收益率
D*为修正久期
• 如果收益率y被表示成每年复利m次的利率，久期D 需要除以1+y/m
P PDy 1 y m
D • 表达式 1 y m
也被称为修正久
• 假定该债券收益发生10个基本点的变化，则
y0.0001 P99.39 2,89 0.00010.28
1.0422
• 凸度值越大,债券利率风险越小,对债券持有者越 有利；
但这改变交易组合的Delta，此时必须调整基础资
产数量以保证新的交易组合Delta中性。
• 随着时间的变化，只有不断调整期权数量使得期
权头寸满足
以保证交
易组合的gamma中性。
• Delta中性保证了两次对冲再平衡过程中，交易组
合价值不受价格微小变化的影响。
• Gamma中性保证了两次对冲再平衡过程中，交易组
Delta P S
线性产品的风险对冲
• 线性产品的价值变化与基础产品的价值变化有某种线性关 系。
• 远期、期货及互换都是线性产品，而期权不是 • 线性产品的风险很容易被对冲。
▫ 例如，一个美国银行与某一企业做了一个远期交易，银行同意在一 年后以130万美元的价格卖给企业100万欧元。假定欧元和美元的一 年期利率分别为4%和3%，当前1美元等于S欧元，则合约的价值为
(一)基本思路
用收益率的方差或标准差来度量资产组合
的风险。
(二)相关的计算公式
n
1.数学期望
P E(rP ) wii
2.方差
i1
nn
nn
2 P
wi w jCov(ri , rj )
wi w j ij i j
3.相关系数
i1 j1
i1 j 1
ˆ ij
1 m 1
m
(ri,k
k 1
ˆ i )(rj,k
• 而修正久期具有双面性,具有较小修正久期的债券 抗利率上升风险较强,而当利率下降时,其价格增 幅却小于具有较大修正久期债券的价格增幅。
2. 衍生品——希腊字母
1. 衍生产品价格F 可以表示成下面的形式
F F(S,t,r, )
其中：S 表示标的物资产的当前价格，t 表示
当前时间，r 表示无风险利率， 表示标的物
基本思想可以通过基于Taylor展开式的资产组合 价值随市场因子变化的二阶形式来展现：
P n P 1n 2 P
P t ti 1 x i x i 2i,j 1 x i xj x i xj
债券价格：利率风险，度量为久期、凸度 证券价格：市场风险，度量为Beta系数 期权：标的资产价格变动风险，度量为Delta、 Gamma
（4）Theta
• 一个衍生产品投资组合的Theta (Q) 是指在其他 条件不变的情况下，交易组合的价值变化与时间 变化的比率，Theta常常被称为投资组合的时间损 耗
• 期权的Theta值通常为负. 这就意味着，在标的资 产价格和波动率不变的条件下，随着期权期限的 接近，期权价值会下降。
• 由于时间走向没有不定性，因此通过对冲来消除 交易组合对于时间的不定性毫无意义。
估计波动率时，分析员常常忽略交易所关闭的天
数，在计算时通常假定每年有252个交易日
• 年波动率是日波动率的 252 倍
隐含波动率
• 期权公式中唯一不能直接观察到得一个参数就是 股票价格的波动率。
• 隐含波动率是交易员从期权价格隐含反推计算出 的波动率。
• 可以用迭代法来求解隐含波动率。
资产组合风险的度量
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债券的利率敏感性
•对债券而言，一个常用的风险测度工具是DV01， 刻画了证券价格对收益率曲线平移一个基本点或特 定利率变化一个基本点的敏感程度 •由债券的定价公式可得
n
P cieyti, i1
n
D ti
i1
cieyti P
连续复利
修正久期
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率 发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期 的概念。
= 13%
•期权的理论价值是$240,000 •银行如何对冲风险锁定60,000美元的利润。
• 起初，期权的delta值为0.522
• 因而，整个交易组合的delta为-52,200
• 这意味着在出售看涨期权的同时，交易员必须借 入2557800美元并按49美元的价格购买52200股股 票来保持delta中性。
例：期权的灵敏度测量
在时刻0购买一种期权，可以在T时刻以一个敲定的价 格（Strike Price）购买（卖出）某种股票。如果用K 表示敲定的价格，到时刻T。 Black-Scholes公式：
S = 股票价格 K = 敲定价格 N(.) = 标准正态分布 r = 无风险收益率 2 = 股票收益波动率 T = 到执行期的时间（生命期）