第一卦限内的三重积分，再乘以 4，即
2
( 5 4 4
5 )
2
2 0
2 (516 32 ) 8 . 42
I
(x2 y2 )dxdydz
4
2 d
0
2
d
0
5 5
2dz
.
2
（4） I x ydxdydz ，Ω 是由柱面 x2 y2 1及平面 z=1，z=0，x=0，y=0 所围成的
f (x, y, z)dxdydz dx dy
f (x, y, z)dz .
1
1x2
x2 y2
D
在柱面坐标系中（xOy 面换成极坐标系，z 轴保持不变），
{(,, z) | 0 2,0 1, z 1}，
图3 此时，原三重积分可化为三次定积分： 注意不要漏掉
2
1
1
f (x, y, z)dxdydz 0 d 0 d f ( cos, sin, z)dz .
0
0
凑微分
( 1 cos 2 4
2 0
)
(
4 4
1 0
)
(
z
1 0
)
图 10
[( 1) (11)] (1 0) (1 0) 1 1 1 1 .
4
4
24 8
（5） I sin zdxdydz ，Ω 是由曲面 z x2 y2 及平面 z=π 所围成的闭区域.
解析： 先求出曲面 z x2 y2 及平面 z=π 的交线在 xOy 面的投影曲线.
（其中，积分区域 Ω 在 xOy 面的投影区域为
D {(x, y) | x2 y2 1}见图 2，图 3）.
D
图1
在空间直角坐标系中，
D
{(x, y, z) | 1 x 1, 1 x2 y 1 x2 , x2 y2 z 1}，
此时，原三重积分可化为三次定积分：
图2
1
1 x 中消去
z，
z 5
得 25(x2 y2 ) 4 25 ，即 x2 y2 4 .
由 yOz 面上的两条直线 z 5 y 2
绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面
于是，投影曲线为
x2
y2
4
，
z0
这是 xOy 面上的圆. 因此，积分区域 Ω（图 7）在 xOy 面
上的投影区域为 D {(x, y) | x2 y2 4}（图 8）.
D {(x, y) | 0 x 1, 0 y 1 x2 }，
化为极坐标形式 D {(, ) | 0 , 0 1} . 2
因此，本题中的积分区域
{(, , z) | 0 , 0 1, 0 z 1 2 } . 2
I x yzdxdydz
1
1 2
2 d d
先在方程组
z
x2 y2 中消去 z，
z
得 x2 y2 2 ，即 .
由 yOz 面上的两条直线 z y 绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面
的上半部分
于是，投影曲线为
x2
y2
2
，
z0
这是 xOy 面上的圆. 因此，积分区域 Ω（图 11）在 xOy 面
上的投影区域为 D {(x, y) | x2 y2 2}（图 12）.
考查以下知识点—— （以下各题解析仅供参考，大家还可想想其他方法.）
1、把三重积分 f (x, y, z)dxdydz 化为三次定积分，其中积分区域 Ω 是由曲面
z x2 y2 及平面 z=1 所围成的闭区域.
解析： 本题的积分区域 Ω 见图 1，可写为：
{(x, y, z) | x2 y2 1, x2 y2 z 1}
4 2 0
d 0
d 2
zdz .
2
1
43 2
I zdxdydz 0
d d
0
2
zdz
下方曲面 z x2 y2
上方曲面 z 4 3(x2 y2)
2
d
0
1 (z2
0
2
43 2 2
) d
2
d
0
1
4 3 2 (
4
) d
0
22
2
d
1
(2
3 3
5
) d
0
0
22
可以看作两次定积分的乘积
图 11
上方平面 z = π
2
I sin z dxdydz 0 d 0 d sin zdz
2
d
0
0
( cos
z
)d
下方曲面 z x2 y2
2
d (1 cos )d
0
0
可以看作两次
定积分的乘积
图 12
2 0 ( cos )d
2 0 d 2 0 cos d
0
0
0
( cos ) ( sin ) zdz
下方为 xOy 面
图 13 上方为球面 z 1 x2 y2
2 (cos sin )d
1 3 d
1 2
zdz
0
0
0
图 14
2
sin 2
d
02
1 3 ( z2
0
2
1 2 0
)d
2
sin 2
d(2 )
1 3 (1 2
0)d
04
0
图7
I
(x2 y2 )dxdydz
2
d
0
2
d
0
5 5
2dz
2
上方平面 z =5
2
d
0
2 3(z
0
5 5
)d
2
下方曲面 4z2 25(x2 y2 )
2
d
2 3 (5 5 )d
0
0
2
可以看作两次 定积分的乘积
图8
2 2 (53 5 4 )d
0
2
说明：大家也可以自己试着利用对称性，只算
y cos
不妨取
z
sin
此时，被积函数 f (x, y, z) y2 z2 可化为 f (, , x) 2 .
原三重积分可化为三次定积分：
( y2 z2 )dxdydz
2
d
10
d
5 2
2dx
0
0
2
2
d
0
10 3 d
0
5
2 dx
2
d
0
10 0
3(x
5 2
I x y dxdydz
1
1
2 0
d
0
d
0
(
cos
sin
)dz
2 (cos sin )d
1 3 d
1
dz
0
0
0
可以看作三次
定积分的乘积
(1
2 sin 2d ) (
1 3 d) (
1
dz)
20
0
0
图9
[1 1
2 sin 2d(2 )] (
1 3 d) (
1
dz)
2 20
2 ( 2 2
0
)
2
d(sin )
0
分部积分法
2 2 2 (sin 2
0
sin d)
0
3
2
(0 cos
0
)
3
2
(2) 3
4
.
（6）设 Ω 为第一卦限内的球面 x2 y2 z2 1及三张坐标面所围成的闭区域，求
I x yzdxdydz .
解析： 本题中的积分区域 Ω 如图 13 所示，Ω 在 xOy 面的投影区域 D 如图 14 所示，
第一卦限内的闭区域；
解析： 已知条件中的平面 x=0 就 是 yOz 面，平面 y=0 就 是 xOz 面，平面 z=0 就 是 xOy 面，而平面 z=1 是 平 行 于 xOy 面的平面.
由柱面 x2 y2 1及平面 z=1，z=0，x=0，y=0 所围成的第一卦限内的闭区域 Ω 如
图 9 所示，Ω 在 xOy 面上的投影区域为 D {(x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}如图 10 所示 .
解析： 先求出曲面 z 4 3(x2 y2 ) 及 z x2 y2 的交线在 xOy 面的投影曲线.
根据课本第 35 页公式，先在方程组
z
4 3(x2 z x2 y2
y2)
中消去 z，得
4 3(x2 y2 ) (x2 y2 )2 ，记 x2 y2 2 ，
有 4 3 2 4 ，即 4 32 4 (2 4)(2 1) 0 ， 求得 2 1 ，也即 x2 y2 1.
)d
2
2
2
d
10 3 (5 2 )d
2
d
10 (53 5 )d
0
0
2
0
0
2
2 5 4 (
04
6 ) 12
10 0
d
2 (125 250)d
0
3
2 (125 250)d 125 2 d 125 2 250 .
0
3
30
3
3
（2） I zdxdydz ，Ω 是由曲面 z 4 3(x2 y2 ) 及 z x2 y2 所围成的闭区域；
2
( 1 cos 2 4
2 0
)
1 2
1(3 5 )d
0
1
1 4
( ) (11) (
4
24
1 0
6 6
1 0
)
1 1 (1 1) 1 . 4 4 6 48
（本题还可用球面坐标计算，有兴趣的同学可以自主学习课本第 102~104 页.）