1．3函数的基本性质-----奇偶性
（一）教学目标
1．知识与技能：
使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性.
2．过程与方法：
通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力.
3．情感、态度与价值观：
通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.
（二）教学重点与难点
重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断.
（三）教学方法
应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固.
（四）教学过程
一．复习与回顾
1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？
2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象.
3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2，
x =±1
，…的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函
2
数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = –f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.
二．新课讲授
1、奇函数、偶函数的定义：
奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (–x) = –f (x)，则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (–x) = g (x)，则这个函数叫做偶函数.
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？
强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性. 问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？
奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题：
（1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？
点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论.
（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？
2、奇函数与偶函数图象的对称性：
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
3、举例分析
例1 判断下列函数的奇偶性；
（1）f (x) = x + x3 +x5；（奇）（2）f (x) = x2 +1；（偶）
（3）f (x) = x + 1；（非奇非偶）（4）f (x) = x2，x∈[–1，3]；（非奇非偶）（5）f (x) = 0.（既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称）.
归纳：（1）根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：
第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (–x) = f (x)还是判断f (–x) = –f (x).
（2）对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：
是奇函数但不是偶函数；
是偶函数但不是奇函数；
既是奇函数又是偶函数；
既不是奇函数也不是偶函数.
学生练习：
1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x3；（奇） (2) f (x) = –x2；（偶） (3) h (x) = x3 +1；（非奇非偶）
(4) k (x) =
21 1
x+
，x[–1，2]；（非奇非偶） (5) f (x) = (x + 1) (x – 1)；（偶）
(6) g (x) = x (x + 1)；（非奇非偶） (7) h (x) = x
；（奇） (8) k (x) =
2
1
1
x-
.（偶）
2、判断下列论断是否正确：
（1）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；（错）（2）如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称，（对）
（3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（错）
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数. （对）
3、如果f (0) = a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？
（不能为奇函数但可以是偶函数）4、如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数？是不是
奇函数？为什么？（偶函数）
5、如图，给出了奇函数y = f (x)的局部图象，求f (– 4).
6、如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
例2 （1）设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且f (x) + g (x) =
1
1
x+
，求函数f (x)，g (x)的解析
式；
（2）设函数f(x)是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f (x)在(0，+∞)上是减函数，且f
(x)＜0，试判断函数F (x) =
1
()
f x
在(–∞，0)上的单调性，并给出证明.
解析：（1）∵f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，∴f (–x) = f (x)，g (–x) = –g (x)，
由f (x ) + g (x ) =11x - ①
用–x 代换x 得f (–x ) + g (– x ) =
11x --， ∴f (x ) –g (x ) =11
x --， ② (① + ②)÷2 = 得f (x ) =211x -； (① – ②)÷2 = 得g (x ) =21
x x -. （2）F (x )在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明：
设x 1，x 2(–∞，0)，且x 1＜x 2.
则△x = x 2 – x 1＞0且–x 1，–x 2(0，+∞)， 且–x 1＞– x 2， 则△(–x ) = (–x 2) – (–x 1) = x 1–x 2 = –△x ＜0，
∵f (x )在（0，+∞）上是减函数，∴f (–x 2) – f (–x 1)＞0 ① 又∵f (x )在 (–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f (–x 1) = – f (x 1)，f (–x 2) = – f (x 2)， 由①式得 – f (x 2) + f (x 1) ＞0，即f (x 1) – f (x 2)＞0.
当x 1＜x 2＜0时，F (x 2) – F (x 1) =122112()()11()()()()
f x f x f x f x f x f x --=⋅， 又∵f (x ) 在(0，+∞)上总小于0，
∴f (x 1) = – f (–x 1)＞0，f (x 2) = – f (–x 2)＞0，f (x 1)·f (x 2)＞0， 又f (x 1) – f (x 2)＞0，∴F (x 2) – F (x 1)＞0且△x = x 2 – x 1＞0，
故F (x ) =1()
f x 在(–∞，0)上是增函数. 三．归纳总结：从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结.
四．布置作业： 习案：作业11。