第四章《圆与方程》全章备课教材分析:本章在第三章直线与方程的基础上,在直角坐标系中建立圆的方程,并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。
在直角坐标系中建立几何对象的方程,并通过方程研究几何对象,这是研究几何问题的重要方法,通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合,坐标法是贯穿本章的灵魂,在教学中要让学生充分的感受体验。
教学目标:1、知识与技能:(1)掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识;(2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法:利用框图对本章知识进行系统的小结,直观、简明再现所学知识,化抽象为直观,易于识记,同时凸现数学知识的发展和联系。
3、情感态度与价值观:通过知识的整合、梳理,理会空间点、线、面间的位置关系及其互相联系,进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
教学重点:各知识点间的网络关系。
难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
教学过程(一)整合知识,发展思维1、圆的方程及其特点:(1)标准方程:222()()x a y b r -+-=(2)一般方程:022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D ) x 2和y 2的系数相同,且不等于0;没有xy 这样的二次项。
(3)圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显;圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
(4)圆的标准方程与一般方程可以相互转化。
2、位置关系:(1)点与圆的位置关系:2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外;2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上;2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内。
(2)直线与圆的位置关系方法一:直线与圆有无公共点,等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。
方程有几组解,直线与圆就有几个公共点;方程组没有实数解,直线与圆就没有公共点。
方法二:判断圆C 的圆心C 到直线的距离与圆的半径的关系:(1)当r d >时,直线l 与圆C 相离;——求圆上任意一点到直线的距离的最值;(2)当r d =时,直线l 与圆C 相切;——求圆的切线方程;(3)当r d <时,直线l 与圆C 相交;——求弦长。
(2)圆与圆的位置关系方法一:圆与圆有无公共点,等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。
方程有几组解,圆与圆就有几个公共点;方程组没有实数解,圆与圆就没有公共点。
方法二:依据圆心距l = |C 1C 2|与两半径长的和21r r +或两半径的差的绝对值||21r r -的大小关系,判断两圆的位置关系:(1)当21r r l +>时,圆1C 与圆2C 相离;(2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C 外切;(3)当<-||21r r 21r r l +<时,圆1C 与圆2C 相交;(4)当||21r r l -=时,圆1C 与圆2C 内切;(5)当||21r r l -<时,圆1C 与圆2C 内含。
3、用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论。
4、空间直角坐标系的建立,空间两点间的距离公式。
(二)应用举例,深化巩固例1、一圆与y 轴相切,圆心在直线x – 3y = 0上,且直线y = x 截圆所得弦长为72,求此圆的方程。
例2、设方程x 2 + y 2 – 2 (m + 3) x + 2 (1 – 4m 2) y + 16m 4+ 9 = 0表示圆,求m 的取值范围,并求圆心的轨迹方程。
例3、已知直线x – my + 3 = 0和圆x 2 + y 2 – 6x + 5 = 0,(1)求实数m ,使直线与圆分别相交、相切、相离;(2)当m 为何值时,圆被直线截得的弦长为1052。
例4:已知方程04222=+--+m y x y x ,(1)若此方程表示的曲线是圆,求m 的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x + 2y – 4 = 0相交于M 、N 两点,且OM ⊥ON (O 为原点),求m 的值;(3)在(2)的条件下,求以线段MN 为直径的圆的方程。
例5:据气象台预报:在A 市正东方向300的B 处有一台风中心形成,并以每小时40速度向西北方向移动,在距台风中心250以内的地区将受其影响,从现在起经过多长时间,台风将影响A 市?持续多长时间?例6、已知P (x , y )为圆C : x 2 + y 2 – 6x – 4y + 12 = 0上的动点,(1)求xy 的最大值与最小值; (2)求x – y 的最大值与最小值; (3)求x 2 + y 2的最大值与最小值;(4)已知定点A (– 1 , 0) , B (1 , 0),求|PA | 2 + |PB | 2的最小值及点P 的坐标;(5)求点P 到直线3x + 4y = 0距离的最大值与最小值;例7、已知圆C : (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 25,直线l : (2m + 1) x + (m + 1) y – 7m – 4 = 0 (m ∈R ),(1)证明不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒交于两点;(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程。
第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程授课类型:新授课 授课时间:第 周 年 月 日(星期 )一、教学目标:1、知识与技能:(1)掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
(2)会用待定系数法求圆的标准方程。
2、过程与方法:进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、教学重点、难点重点:圆的标准方程难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。
三、教学过程:(一)问题情境设置问题1:在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?问题2:什么叫圆?在平面直角坐标系中,如何确定一个圆?问题3:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢?(二)探索研究设圆的圆心坐标为A (a , b ),半径为r 。
(其中a 、b 、r 都是常数,r > 0),求圆的方程。
分析:设M (x , y )为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是P = {M | |MA | = r}, 由两点间的距离公式可得出点M 适合的条件22()()x a y b r -+-=化简可得:222()()x a y b r -+-=问题4:以上方程是否表示以为A (a , b )圆心,r 为半径的圆?结论:以A (a , b )为圆心,半径长为r 的圆的标准方程为:222()()x a y b r -+-=。
(三)知识应用与解题研究例1:写出圆心为A (2,– 3),半径长等于5的圆的方程,并判断点12(5,7),(5,1)M M ---是否在这个圆上。
分析:可以从计算点到圆心的距离入手。
圆的方程:25)3()2(22=++-y x ;M 1在圆上,M 2不在圆上。
拓展:点M 2是在圆内还是在圆外?探究:点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=内的条件是什么?在圆外呢?结论:点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:(1)2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外;(2)2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上;(3)2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内。
例2:△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程。
分析:从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a b r 、、三个参数。
[25)3()2(22=++-y x ]例3:已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在直线:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程。
分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。
圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A ,B 两点的距离相等,所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上,又圆心C 在直线l上,因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点,半径长等于CA 或CB 。
归纳:求任意△ABC 外接圆的标准方程的两种求法:(1)根据题设条件,列出关于a b r 、、的方程组,解方程组得到a b r 、、得值,写出圆的标准方程。
(2)根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程。
(四)练习反馈:课本P120练习。
(五)提炼小结:(1)圆的标准方程;(2)点与圆的位置关系的判断方法;(3)根据已知条件求圆的标准方程的方法。
(六)作业:课本124习题4.1第2、3、4题。
板书设计:教学反思:4.1.2 圆的一般方程授课类型:新授课 授课时间:第 周 年 月 日(星期 )一、教学目标1、知识与技能:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径,掌握方程x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0表示圆的条件。
(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程,能用待定系数法求圆的方程。
(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
2、过程与方法:通过对方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
3、情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。
二、教学重点、难点重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数:D 、E 、F 。
难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
三、教学过程:(一)课题引入思考:方程x 2 + y 2 – 2x + 4y + 1 = 0表示什么图形?方程x 2 + y 2– 2x –4y + 6 = 0表示什么图形?思路分析:以上是关于x ,y 的二元二次方程,与圆的标准方程进行比较,得知应进行配方:(x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 4表示圆;(x – 1) 2 + (y – 2) 2 = – 1不表示任何图形。