双曲型方程基于MATLAB 的数值解法（数学1201,陈晓云,41262022）一：一阶双曲型微分方程的初边值问题0,01,0 1.(,0)cos(),0 1.(0,)(1,)cos(),0 1.u u x t t xu x x x u t u t t t ππ∂∂-=≤≤≤≤∂∂=≤≤=-=≤≤ 精确解为 ()t x cos +π二：数值解法思想和步骤 2.1:网格剖分为了用差分方法求解上述问题，将求解区域{}(,)|01,01x t x t Ω=≤≤≤≤作剖分。

将空间区间[0,1]作m 等分，将时间[0,1]区间作n 等分，并记1/,1/,,0,,0j k h m n x jh j m t k k n ττ===≤≤=≤≤。

分别称h 和τ为空间和时间步长。

用两簇平行直线,0,,0j k x x j m t t k n =≤≤=≤≤将Ω分割成矩形网格。

2.2：差分格式的建立0u ut x∂∂-=∂∂ 2.2.1：Lax-Friedrichs 方法对时间、空间采用中心差分使得2h11111)(21u u xu u u u u tukj kj kj k j kjk j-+-++-=+=-=∂∂∂∂ττ则由上式得到Lax-Friedrichs 格式111111()202k k k k k j j j j j u u u u u hτ+-+-+-+-+=截断误差为()[]k k kj h j j R u L u Lu =-111111()22k k k k k k k j j j j j j ju u u u u u u h t xτ+-+-+-+-∂∂=+-+∂∂232223(),(0,0)26kkjj u u h O h j m k n t xττ∂∂=-=+≤≤≤≤∂∂ 所以Lax-Friedrichs 格式的截断误差的阶式2()O h τ+ 令/s h τ=：则可得差分格式为111111(),(0,0)222k k k kk j j j j j s s u u u u u j m k n +--++=-+++≤≤≤≤ 0cos()(0)j j u x j m π=≤≤0cos(),cos(),(0)k kk m k u t u t k n ππ==-≤≤其传播因子为： ()()()e e Gh i h i s h i h i σσσστσ---=-+e e 221， 化简可得：()()()()()hs G h is h G στσσστσsin 11,sin cos ,222--=-= 所以当1s ≤时，()1,≤τσG ,格式稳定。

* 2.2.2：LaxWendroff 方法用牛顿二次插值公式可以得到LaxWendroff 的差分格式，在此不详细分析，它的截断误差为()h 22+Oτ，是二阶精度；当2s ≤时，()1,≤τσG ，格式稳定。

在这里主要用它与上面一阶精度的Lax-Friedrichs 方法进行简单对比。

2.3差分格式的求解因为1s ≤时格式稳定，不妨取1/90h 1/100==τ ，则s=0.9差分格式111111(),(0,0)222k k k k k j j j j j s s u u u u u j m k n +--++=-+++≤≤≤≤ 写成如下矩阵形式：1011121211110000022221100022221100000022220000000000000k k k k k k m m k m k m s s u u s s u u u us s u u +++---⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭则需要通过对k 时间层进行矩阵作用求出k+1时间层。

对上面的矩阵形式通过matlab 编出如附录的程序求出数值解、真实解和误差。

2.5 算法以及结果function [P U E x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,type)format long%一阶双曲型方程的差分格式%[P U E x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type) %方程:u_t+C*u_x=0 0 <= t <= uT, 0 <= x <= uX %初值条件:u(x,0)=phi(x) %输出参数:U -解矩阵 % x -横坐标 % t -纵坐标，时间% 输入参数:uX -变量x 的上界 % uT -变量t 的上界 % M -变量x 的等分区间数 % N -变量t 的等分区间数 % C -系数% phi -初值条件函数，定义为内联函数 % psi1,psi2 -边值条件函数，定义为内联函数 % type -差分格式，从下列值中选取% -type='LaxFriedrichs'，采用Lax-Friedrichs 差分格式求解 % -type='LaxWendroff'，采用Lax-Wendroff 差分格式求解h=uX/M;%变量x的步长k=uT/N;%变量t的步长r=k/h;%步长比x=(0:M)*h; t=(0:N)*k;U=zeros(M+1,N+1);%初值条件for i=1:M+1U(i,1)=cos(pi*x(i));P(i,1)=cos(pi*x(i));E(i,1)=0;end%边值条件for j=1:N+1U(1,j)=cos(pi*t(j));E(1,j)=0;P(1,j)=cos(pi*t(j));U(M+1,j)=-cos(pi*t(j));P(M+1,j)=-cos(pi*t(j));E(M+1,j)=0;endswitch typecase'LaxFriedrichs'if abs(C*r)>1disp('|C*r|>1，Lax-Friedrichs差分格式不稳定！')end%逐层求解for j=1:Nfor i=2:MU(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j))/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2;P(i,j+1)=cos(pi*(x(i)+t(j+1)));E(i,j+1)=abs(U(i,j+1)-cos(pi*(x(i)+t(j+1))));endend%Lax-Wendroff差分格式case'LaxWendroff'if abs(C*r)>1disp('|C*r|>1，Lax-Wendroff差分格式不稳定！')end%逐层求解for j=1:Nfor i=2:MU(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2+C^2*r^2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j))/2;P(i,j+1)=cos(pi*(x(i)+t(j+1)));E(i,j+1)=abs(U(i,j+1)-cos(pi*(x(i)+t(j+1))));endendotherwisedisp('差分格式类型输入有误！')return;endU=U';P=P';E=E';%作出图形精确解mesh(x,t,P);title('一阶双曲型方程的精确解图像');xlabel('空间变量x'); ylabel('时间变量t'); zlabel('一阶双曲型方程的解P')%作出图形数值解mesh(x,t,U);title([type '格式求解一阶双曲型方程的解的图像']);xlabel('空间变量 x'); ylabel('时间变量 t'); zlabel('一阶双曲型方程的解 U')return;命令窗口输入：>>uX=1;uT=1;M=90;N=100;C=-1;phi=inline('cos(pi*x)');psi1=inline('cos(pi*t)');psi2=inline('-c os(pi*t)');type='LaxFriedrichs'或type='LaxWendroff';>>[P U E x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,type)从matlab的数值解法结果中抽出一部分数据进行比较表1LaxFriedrichs表2LaxWendroff格式备注：本来100≤≤0≤≤，，但是由于matlab中下标必须从大于0开始，j90k所以在程序中101≤≤≤，91k1≤1j图像分析:结果分析：从表1和表2可以看出LaxFriedrichs格式和LaxWendroff格式的真值得误差都比较小，而LaxWendroff格式虽然精度比LaxFriedrichs的精度高，但是在网格点划分比较细的情况下，二者的差别不大。

从三个图像的结果看出，二者都拟合的相当好，并且结果都稳定。