第二章 电路的暂态分析一、 基本要求1. 理解暂态过程的原因及换路定则；2. 了解经典法分析一阶电路的暂态过程；3. 能确定时间常数、初始值和稳态值三个要素，并了解其意义；4. 熟练应用三要素法求一阶电路的公式；5. 了解微分电路和积分电路。

二、 阅读指导一般的讲，电路从一个稳态经过一定的时间到另一个稳态的物理过程称为过渡过程，和稳态相对应，电路的过渡过程称为暂态过程。

由于电路的（开、闭、变动）换路，只要引起储能元件（C 、L ）上能量的变动，就会引起暂态过程。

本章主要分析RC 和RL 一阶线性电路的暂态过程。

只限于直流暂态电路。

重点是RC 电路，RL 电路分析方法是一样的，可类推或自学。

1．几个概念换路：换路是指电路的开、断或变动。

一般设t =0时换路。

旧稳态：换路前电路的稳定状态。

t =0-时，是指换路前（旧稳态）的最后瞬间。

新稳态：换路后电路的稳定状态。

t =0+时，是指换路后（过渡过程）的最初瞬间。

2． 换路定则由于暂态过程中储能元件的能量不能突变，故有：)0()0()0()0(+-+-==L L C C i i u u — 称换路定则。

换路定则表示换路瞬间，电容上的电压和电感上的电流不能突变，称不可突变量；而其它各量则不受能量的约束是可突变量。

如电容上的电流等。

换路定则只适用于换路瞬间，利用它可以确定暂态过程中电容电压、电感电流的初始值。

3．初始值的确定初始值是指+=0t 时各电压、电流的值。

求初始值步骤如下：1) 在-=0t 的电路中，求出)0(-C u 或)0(-L i 不可突变量；由换路定律得出初始值 ，)0()0()0()0(-+-+==L L C C i i u u2) 在+=0t 的电路中，求其它可突变量的初始值。

注意： 在+=0t 电路中，把初始值)0(+C u 或)0(+L i 当电源处理。

换路前，如果储能元件没有储能，)0(+C u =0，)0(+L i =0，则在+=0t 的电路中，将电容元件短路，电感元件开路。

换路前，若储能元件储有能量， )0()0(),0()0(-+-+==L L C C i i u u ，则在+=0t 的电路中，电容元件用一恒压源代替，其电压为)0(-C u ；电感元件可用一恒流源代替，其电流为)0(-L i 。

对于初学者，求初始值是个难点，要从概念上真正理解才行。

4． 一阶电路暂态分析的三要素法三要素法是通过经典法推导得出的一个表示指数曲线的公式。

避开了解微分方程的麻烦，它可以完全快速、准确地解决一阶电路问题。

三要素法一般公式： []τte f f f t f -+∞-+∞=)()0()()(上式只适用于在阶跃激励下的一阶线性暂态电路的分析，只要求出其中三个要素，即可描述一阶电路的暂态过程。

三个要素的意义：(1) 稳态值f (∞)：换路后，电路达到新稳态时的电压或电流值。

当直流电路处于稳态时,电路的处理方法是：电容开路，电感短路，用求稳态电路的方法求出所求量的新稳态值。

(2) 初始值f (0+)：f (0+)是指任意元件上的电压或电流的初始值。

(3) 时间常数τ：用来表征暂态过程进行快慢的参数，单位为秒。

它的意义在于，a. τ越大，暂态过程的速度越慢，τ越小，暂态过程的速度则越快，b.理论上，当t 为无穷大时，暂态过程结束；实际中，当t =(3～5)τ时，即可认为暂态过程结束。

时间常数的求法是：对于RC 电路τ=RC ，对于RL 电路τ=L/R 。

这里R 、L 、C 都是等效值，其中R 是把换路后的电路变成无源电路，从电容（或电感）两端看进去的等效电阻（同戴维宁定理求R 0的方法）。

c.同一电路中，各个电压、电流量的τ相同，充、放电的速度是相同的。

电路分析中，外部输入电源通常称为激励；在激励下，各支路中产生的电压和电流称为响应。

不同的电路换路后，电路的响应是不同的时间函数。

（1）零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，仅由初始储能引起的响应，其实质是电容元件放电的过程。

即：τte f t f -+=)0()(（2）零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加激励引起的响应，其实质是电源给电容元件充电的过程。

即：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=-τt e f t f 1)()( （3）全响应是指电源激励和初始储能共同作用的结果，其实质是零输入响应和零状态响应的叠加。

)1)(()0()(ττtt e f ef t f --+-∞+=零输入响应 零状态响应应用三要素法求出的暂态方程可满足在阶跃激励下所有一阶线性电路的响应情况，如从RC 电路的暂态分析所得出的电压和电流的充、放电曲线如图2-1，这四种情况都可以用三要素法直接求出和描述，因此三要素法是即简单又准确的方法。

图2-1(a),(b),(c),(d)RL 电路完全可以在理解RC 电路以后，对照RC 电路来学习，不同的是时间常数RL=τ，另外还应该注意教材例2-7中所提到的过电压现象。

5． 微分和积分电路微分电路与积分电路是R 、C 组成的电路，在矩形脉冲作用下各自的特点不同。

微分电路必须满足条件（1）输出信号u 0从R 上取出，（2）τ=RC <<t p ，输出才是尖脉冲。

积分电路必须满足条件（1）输出信号u 0从C 上取出，（2）τ=RC >>t p ，输出才是三角波。

t p 表示脉冲宽度。

三．例题解析例2.1如图2-2所示电路中，t =0时，开关S 打开。

求开关S 打开瞬间各元件在t =0-、t =0+时刻的电压、电流值，并比较之。

图2-2 图2-2（t =0+）解析：t =0+、t =0-在数值上都等于0，但t =0-是指前稳态的最后时刻，电路如图2-2；t =0+是指暂态过程8V8V 1A1Ai C2 i C1 u L1u L2 u R2u C1 u C2i L1 i L2i R1 i R2的最初时刻，等效电路如图2-2（t =0+）。

1）在t =0-电路中，求各电压、电流量，)0(1-R i =)0(1-L i =)0(2-R i =)0(2-L i = 10/（2+8）=1A)0(1-C i =)0(2-C i =0 )0(1-L u =)0(2-L u =08)0()0()0()0(22221=⨯===----R i u u u R R C C V2）在t =0+电路中，按照求初始值的方法求各电压、电流量，根据换路定律，1)0()0(11==-+L L i i A ， 1)0()0(22==-+L L i i A 8)0()0(11==-+C C u u V ， 8)0()0(22==-+C C u u V 用恒流源、恒压源代替电感和电容，t =0+时刻电路如图2-3（t =0+）； 在t =0+电路中，求各初始值，1)0()0(21-=-=++L C i i A 1)0()0(12-=-=++L C i i A 2)0(212=+=+L L R i i i A 16)0()0(222=⨯=++R i u R R V8168)0()0()0(221=-=-=+++R C L u u u V 8168)0()0()0(212=-=-=+++R C L u u u V比较上述结果，只有电感上的电流和电容上的电压不能突变，其它电流、电压均发生了突变。

如电容的电流由0跃变到-1A ，电感元件两端的电压由0跃变到8V ；所以，今后求初始值，由t =0-电路，只需求出)0(-C u 、 )0(-L i 即可，因为)0(+C u 、)0(+L i 不能跃变，而电路中的其它电压和电流不必去求。

另外，我们注意到t =0-是指前稳态的最后时刻，它的电路是换路前的稳态电路，所以求解方法同直流稳态电路的方法完全相同（电容开路、电感短路），一般可不画出t =0-时刻的电路；但t =0+时刻的电路是换路后瞬间的等效电路，求初始值时，一定要画出电路后，方可求解。

例2.2 图2-3所示电路中，开关S 在t =0时闭合，S 闭合前电路已处于稳态。

试求开关S 闭合后各元件电压、电流的初始值。

图2-3 图2-3（t =0+）解析：按照求初始值的方法，1）在t =0-电路即前稳态电路中先求不可突变量)0(-C u 、 )0(-L i ， 410232)0(11=⨯+=+=-S C U R R R u Vu C （0+）i L （0+） i 2（0+）i 1（0+） i C （0+） i L3K3K2mA4VmA R R U i S L 23210)0(1=+=+=-根据换路定则即可求得，)0(+C u =)0(-C u =4V)0(+L i =)0(-L i =2mA2）在图2-3（t =0+）等效电路中，求其它初始值，23410)0()0()0(1122)0()0()0()0(144)0()0(224)0()0(212211=⨯--=--=-=--=--=======+++++++++++L C S L L C C C Ri u U u m A i i i i m A R u i m A R u i由计算结果可知，换路瞬间除u C 、i L 不能突变外，其它量均可突变，且其它初始值的求解完全满足KCL 、KVL 定律。

例2.3 如图2-4电路，U S1=10V U S2=4V R 1=R 2=5K R 3=15K C=5F μ，S 在“2”位时电路处于稳态。

t =0时，开关S 合向“1”位，t =0.03s 时，开关S 合向“3”位。

试求：换路后的u C （t ）及变化曲线。

图2-4 图2-4 u C （t ）变化曲线解析：这里，暂态过程有两个动作，t =0时开关S 合向“1”位，电容被充电；充到0.03s 时，暂态过程还没有结束，开关S 又合向“3”位，电容又开始放电。

第一阶段的u C （t ）|t=0.03s 的值是第二阶段的初始值，所以先求第一阶段的u C （t ），然后求第二阶段的u C （t-0.03）。

还要注意到两次换路后的电路不同，各自的时间常数τ就不同，充、放电的速度亦不同。

第一阶段 s t 03.00≤≤，开关S 合向“1”位。

按照三要素法求得，)0(+C u =)0(-C u =V U R R R s 34155152323=⨯+=+V U R R R R u S C 610155515)(13213=⨯++=++=∞03.0//)(32101=⨯+==C R R R C R τs代入三要素公式，[]V eeu u u t u t tC C C C 03.036)()0()()(--+-=∞-+∞=τ(s t 03.00≤≤)第二阶段s t 03.0≥，开关S 合向“3”位。

按照三要素法求得， )0(+C u =u C （t ）|t=0.03s ==--03.003.036e4.9V130.0334.9u C R 30)(=∞C us C R C R 075.0302===τ[]V eeu u u t u t t C C C C 075.003.003.09.4)()0()()03.0(----+=∞-+∞=-∴τ(s t 03.0≥)例2.4 如图2-5电路，I S =10mA U =50V R 1=R 2=10K L =10mH ，开关闭合前电路处于稳态，t =0时开关S 闭合，试求：u （t ）图2-5 图2-5（ t =∞） 图2-5（t=0+）解析：所求u (t)是可突变量，用三要素法求解时有两种方法。