1
1 ij
x,
y
1
1 ij
x,
y
0 ij
x,
y
1
0 ij
x,
y
x j
y j
x j
y j
1 ij
x,
y
1
1 ij
x,
y
2
2 ij
x,
y
1
2 ij
x,
y
x j
y j
x j
y j
fi 0
10
6.3 渐进展开法
令 εi (i=-2,-1,0,1…) 的系数为零，得到一系列控制方程：
O 2 :
渐进展开是其中比较常用的一种展开方法中，其展开形式为：
u x u0 (x, y) u1(x, y) 2u2 (x, y) , y x
注意到任意一个依赖于两个尺度的函数 Φ 对宏观坐标 x 的偏微分为
xi
x,
y
x
xi
1
yi
应变张量
ekl
1 2
uk xl
ul xk
u1k yl
0
可以得到
0 ij
ˆikjl
y uk0 xl
ui1
( y)ikl
uk0 xl
其中
ˆ
kl ij
(
y)
0
y j
细观平衡方程
ˆikjl
(
y)
E ijpm
Tpkml
kl p
ym
细观本构方程
T kl ij
1 2
(
ikjlil jk )126.3 渐进展开法
0 ij
ˆikjl
u0 U0 x,t
O 1 :
Eu0, y
,x
Eu0,x
,y
Eu1, y
0
,y
H 1 1 2
0 U0,xE 1 L,y
u1 U1 x,t L y U0,x
HU0 EHU0,xx 0
请证明
EH E 1 L,y
E1E2
1 E1
E2
O 0 : ui E u0,x u1,y ,x E u1,x u2,y ,y 0
ij x j
fi
宏观弹性问题的解
in
,
ij
EH ijkl
uk0 xl
ijn j ti on t , ui0 ui on u
13
6.3 渐进展开法
尺度
宏观 x 微观 y=x/ε …… z=x/ε2
对位移渐进展开
u u0 u1 2u2
得到均匀化方程
利用周期边条化简控制方程
动态问题怎么办？
i 0,1, 2,3, , n
不同阶的应力为：
1 Eu0, y
i E ui,x ui1,y
i 0,1, 2,3, , n
16
6.4 含时间的渐进展开（1）
O 2 : Eu0,y ,y 0
u0 U0 x,t
u0
Eu0, y
dy
,y
0
u0 Eu0,y ,ydy u 0,y Eu0,y dy 0
7
均匀化方法
1）渐进展开法（Asymptotic expansion） 2）泰勒级数近似法（Taylor Series Approximation） 3）以傅里叶变换为基础的多尺度方法
8
6.3 渐进展开法 Asymptotic expansion
在均匀化理论中， Y-周期位移场可以近似为宏观坐标 x 的展开式，
单胞模型通过在非均匀结构中提取出一个代表性体积单元(RVE)从而 可以求得有效的材料响应和演化过程。这里假设微结构是周期性重复排 列的单胞，与复合材料的宏观尺寸相比，它的不均匀性是很小的，此种 类型的材料被称作具有周期性微观结构的复合材料（第三章 ） 。但是， 单胞法还是存在许多不足。周期性假设用于预测最优材料性能非常有效， 然而实际的非均匀材料很少具有完全的周期性微结构，宏观结构上不同 的点可能具有不同的微结构形态。这种假设在处理复杂载荷条件下非线 性非均匀结构变形问题时也存在不足。为了解决上述问题，单胞模型应 该包含大的区域，采用大的模型。
➢ 如果材料的非均匀尺度很小，则色散效应可以忽略。
ekl
1
e1 kl
x,
y ek0l
x,
y e1kl
x,
y
e2 2 kl
x,
y
代入本构方程，可得应力场的渐进展开式：
kl
1
1 kl
x,
y
0 kl
x,
y
1 kl
x,
y
2
2 kl
x,
y
其中
n ij
E e n ijkl kl
x, y ,
n 1,0,1, 2
将应力的渐进展开式代入平衡方程，有
15
6.4 含时间的渐进展开（1）
令 εi (i=-2,-1,0,1…) 的系数为零，得到一系列控制方程：
O 2 :
Eu0, y
0
,y
O 1 :
Eu0, y
,x
Eu0,x
,y
Eu1, y
0
,y
O i : ui E ui,x ui1,y ,x E ui1,x ui2,y ,y 0
u1 y u1 y 0
0 0 y
0 y
3. 正交性（Normalization）：
u1(x, y,t) U1(x,t) L(y) 0
如何求解 L(y) ？ 请求出L(y)（分段表达），进而求出 E 1 L,y 18
6.4 含时间的渐进展开（1）
O 2 : Eu0,y ,y 0
y=x/ε 0 1
例如：宏观尺度为 m，微观尺度为 nm，ε = 10-9
实际为 1m 的尺寸，即 x=1 (m)， 在微观尺度下 y=x/ε= 109 (nm) 实际为1nm的尺寸，即 y=1 (nm)，在宏观尺度下 x=yε= 10-9 (m)
5
6.2 多尺度模型
对于非均匀的复合材料，当宏观结构受外部作用时，位移 和应力等结构场变量将随宏观位置的改变而不同。同时由于细 观结构的高度非均匀性，使得这些结构场变量在宏观位置 x 非 常小的邻域 ε 内也会有很大变化。因此所有变量都假设依赖于 宏观与细观两种尺度，即：
y=x/ε
u;x u,x 1u,y e u;x
Ee
n
x
(x, y,t) ii (x, y,t) i 1
参考文献：Fish, J. and Chen, W. (2001). Higher-Order Homogenization of Initial/
Boundary-Value Problem. J. Eng. Mech., 127(12), 1223–1230.
1 ij
x,
y
0
y
j
O 1 :
1 ij
x,
y
0 ij
x,
y
0
x
y
j
j
O 0
:
0 ij
x,
x
y
1 ij
x,
y
y
fi
0
j
j
O 1 :
1 ij
x,
y
2 ij
x,
y
0
x
y
j
j
（1） （2） （3）
O n
:
n ij
x,
y
n1 ij
x,
y
0
,
n 1, 2,3
x
y
j
j
11
6.3 渐进展开法
x x, y , y = x
上标 ε 表示该函数具有两尺度的特征。
Y-周期性：微观单胞的周期为Y
x, y x, y +Y
6
6.2 多尺度模型
在
中，弹性张量
E ijkl
和柔度张量
S ijkl
分别为
E ijkl
( x)
Eijkl
( x,
y)
in
S ijkl
(
x)
Sijkl
(
x,
y)
in
y
uk0 xl
在Y 内积分，有
1 ij
0
(1)
y
j
1 ij
0 ij
0
(2)
x y
j
j
0 ij
x
1 ij
y
fi
0
(3)
j
j
0 ij
EH ijkl
uk0 xl
EH ijkl
ˆ
kl ij
1 Y
Y
ˆ
kl ij
y dY
均匀化弹性常数
（3）式
0 ij
x j
fi 0
in
均匀化的宏观平衡方程
令 Σ σ0
高等复合材料力学
Advanced Mechanics of Composite Materials
第六章 均匀化理论和多尺度方法
陈玉丽 航空科学与工程学院
6.1 引言
在考察实际复合材料微结构状态变量和材料系数的演化时，由于热 载荷和机械载荷都是施加在宏观结构层面，所以研究采用的细观力学模 型必须能够把细观响应和宏观行为联系起来。
均匀化后的材料性质与静态问题是一致的。因此，0阶问题是无色散 的。为了反映波的色散效应（dispersion effect），必须考虑更高阶的项。
19
6.4 含时间的渐进展开（1）
O :
HU1 EHU1,xx 0
O 2 :
HU2 EHU2,xx EdU0,xxxx
Ed
1 2 E11 E22 2 EH 2 12H2 1 E1 E2 2