解决组合投资收益最优问题一、 摘要本论文主要讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。

分别在不考虑投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的情况下，建立相应的数学模型，来使得投获得的总利润达到最大。

模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。

模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。

二、 关键字：经济效益 线性规划模型 有效投资方案 线性加权三、 问题重述市场上有n 种资产（如储蓄、保险、国债、股票、基金、期货、外汇、房地产、珠宝、邮票、古玩字画、钱币及拍卖品等）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，将数额1000万的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。

现对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。

考虑到投资越分散，总的风险越小，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。

购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易按购买i u 计算（不买当然无须付费）。

另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。

（0r =5%） 资产 收益率(%) 风险率(%) 交易率(%) 阀值(元) 28 2.5 1 103 21 1.5 2 198235.54.55225 2.6 6.5 40试给一种投资组合方案，即用给定的资金1000万，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

资产收益率(%)风险率(%)交易率(%)阀值(元)1S9.6 42 2.1 1812S18.5 54 3.2 4073S49.4 60 6.0 4284S23.9 42 1.5 5495S8.1 1.2 7.6 2706S14 39 3.4 3977S40.7 68 5.6 1788S31.2 33.43 3.1 2209S33.6 53.5 2.7 47510S36.8 40 2.9 24811S11.8 31 5.1 19512S9 5.5 5.7 32013S35 46 2.7. 26714S9.4 5.3 4.5 32815S15 23 7.6 131的盈亏数据，以及一般情况的讨论。

这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。

设购买Si （i=0,1…….n;S0表示存入银行，）的金额为xi;所支付的交易费为ci(xi)，则：对Si 投资的净收益为:（i＝0，1，…，n）对Si投资的风险为:对Si 投资所需资金（即购买金额 xi 与所需的手续费 ci(xi) 之和）是投资方案用 x=（x0，x1，…，xn）表示，那么，净收益总额为： R(x)=总风险为：Q(x)=所需资金为：F(x)=所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为：min｜F(x)=M,x但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单的单目标模型。

四、模型的假设与符号说明1．模型的假设：（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。

（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。

即在买入后就不再卖出。

（3）每种投资是否收益是相互独立的。

（4）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。

参数范围说明Si i=1,2…n 欲购买的第i种资产的种类M 相当大现有的投资总额xi i=1,2…n 购买Si烦人金额ri i=1,2…n 购买Si的平均收益率qi i=1,2…n 购买Si的平均损失率pi i=1,2…n 购买Si超过ui时所付的交易费Ei i=1,2…n 购买资产Si所或得的收益k 0.1~1 权因子A 不等式右端的系数矩阵f 目标向量五、问题分析由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，在这里投资Si的平均收益率为xiri，风险损失为xiqi。

要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小，第一个解决方法就是进行投资组合，分散风险，以期待获得较高的收益，模型的目的就在于求解最优投资组合，当然最优投资还决定于个人的因素，即投资者对风险，收益的偏好程度，怎样解决二者的相互关系也是模型要解决的一个重要问题。

本题所给的投资问题是利用原给的数据，通过计算分析得到一种尽量让人满意的投资方案，并推广到一般情况，利用第二问进行验证，下面是实际要考虑的两点情况：（1） 在风险一定的情况下，取得最大的收益 （2） 在收益一定的情况下，所冒的风险最小当然，不同的投资者对利益和风险的侧重点不同，将在一定的范围内视为正常，所以只需要给出一种尽量好的模型，即风险尽量小，收益尽量大，这是一般投资者的心里。

对于模型一，在问题一的情况下，可对五种项目投资，其中银行的无风险，收益r0=5%为定值，在投资期间是不会变动的，其它的投资项目虽都有一定的风险，但其收益可能大于银行的利率，我们拟建立一个模型，这个模型对一般的投资者都适用，并根据他们风险承受能力的不同提出多个实用于各种类型人的投资方案（一般投资者分为：冒险型与保守型。

即越冒险的人对风险损失的承受能力越强）。

对于模型二：由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，将资产的风险预期收益率用一定的表达式表示出来，在这里，投资Si 的平均收益为X(i)*r(i),风险损失为r(i)*q(i).要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小。

六、模型的建立与求解投资者的净收益为购买各种资产及银行的收益减去此过程中的交易费用。

在对资产Si 进行投资时，对于投资金额xi 的不同，所付的交易费用也有所不同步投资时不付费，投资额大于ui 时交易费为xipi ，否则交易费为uipi ，记ii i 0x 0u 0r ;i i ii i x x x u ϕ=⎧⎪=<<⎨⎪>⎩，；即题中所给的交易费的计算数额是一个分段函数，在实际的计算中不容易处理，但我们注意到，在表1中，ui 的数值非常小，∑iu =103+198+52+40=387元，对其中最大的ui 来说，u2=198<200元，而已知M 是一笔相当大的资金，同时交易费率pi 的值也很小，即使在xi<ui 时，以ui 来计算交易费与用xi 直接计算交易费相差无几，所以，后面我们具体计算式，为简化暂不考虑ui 的约束，都已xi 来答题ui 计算交易费。

1、模型一：问题分析与求解设购买i S 的金额为i x ，所付的交易费i c (i x )为0c (0x )=0。

00()0(1~)i i i i i i i i i i i x c x p u x u i n p x x u=⎧⎪=<<=⎨⎪≥⎩ (1)因为投资额M 相当大，所以总可以假设对每个i S 的投资i x ≥i u ，这时（1）式可化简为()(1~)i i i i c x p x i n == (2)对Si 投资的净收益:()()()i i i i i i i i i R x r x c x r p x =-=- (3)对i S 投资的风险:()i i i i Q x q x = （4）对i S 投资所需资金（投资金额i x 与所需的手机费i c (i x )之和）即()()(1)i i i i i i i f x x c x p x =+=+ (5)当购买i S 的金额为i x （i=0~n ）,投资组合x=(0x ,1x ,……，n x )的净收益总额0()()ni i i R x R x ==∑ (6)整体风险：1()max ()i i i n Q x Q x ≤≤= (7)资金约束：0()()ni i i F x f x M ===∑ (8)多目标数学规划模型净收益总额R( x)进、尽可能大，而整体风险Q(x)又尽可能小，则该问题的数学模型可规划为多目标规划模型，即max ()min ().()0R x Q x s tF x M x ⎧⎪⎪⎨=⎪⎪≥⎩ (9) 模型（9）属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。

假定投资的平均 风险水平-q ，则投资M 的风险k=-q M ，若要求整体风险Q(x)限制在风险k 以内，即Q(x)<=k ，则模式（9）可转化为max ().()()0R x s tQ x k F x M x ⎧⎪≤⎪⎨=⎪⎪≥⎩ (10)2、模型一的求解（1）求多目标规划模型（9）的非劣解由多目标规划理论可知，模型（9）非劣解的必要条件（Kuhn-Tucker 条件）为，存在1λ,2λ，μ>0使12()(())(())0(())0,0R x Q x F x M F x M x λλμμ∇+-∇+-=⎧⎨-=≥⎩问题在于如何求 （7）式给出的Q(x)的导数。

（2）求模型（10）的最优解由于模型（10）中的约束条件Q(X) ≤ k,即k x m ax Q i i ≤）（ 所以此约束条件可转化为：()(1~)i i Q x k i n ≤=这是模型（10）可转化为如下的线性规划：max ().(1)(1~)0n i i ii ni i i i i r p x s t p x M q x k i n x ==⎧-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪≤=⎪≥⎩∑∑ (11) 给定k,可方便的求解模型（11）。

具体计算时，为了方便起见，可令M=1，于是（1+i p ）i x 可视作投资i S 的比例。

下面针对n=4,M=1的情形，按原问题给定的数据，模型（11）可变为：max 012340.050.270.190.1850.185x x x x x ++++.s t 012341.01 1.02 1.045 1.0651x x x x x ++++=12340.0250.0150.0550.026x k x k x k x k≤≤≤≤0i x ≤ (0~4)i =3、模型二：问题分析与求解我们的目标是对各种资产投资以后，不仅收益尽可能大，同时总体风险还要尽可能小，所以我们的目标函数应为收益和风险两个函数，由于在一般时间内的各种资产的平均收益率和风险损失率已由表中给出，因此我们可以建立数学模型目标1：max ∑+=-=1n 1i i i i i Y X r f ）（目标2：min ）（i i ni 1i X q max f ≤≤= s.t.：1Y X 1n 1i i i =+∑+=）（ 这是一个多目标非线性数学规划模型,且i f 不是xi 的连续函数,优化求解困难,下面我们将它转化为一个线性规划模型线性规划模型1、目标函数的确定多目标规划有多种方法化为单目标问题解决,我们使用线性加权总目标函数：min ））（（12f 1f f --+=λλλ反映了风险投资中投资者的主观因素,λ越小表示投资越冒险,当λ=0是表示只顾收益不顾风险,这样的人有可能取得最大收益;λ=1时表示只顾风险不顾收益,这样的人会将所有的资金存入银行2、交易费函数的线性化近似本题中i Y 不是i X 的连续函数,现将i Y 近似为i X 的线性函数：i i i X p Y = 3、、风险函数的转化令22n f X =+,那么必有2n i i X X q +≤(i=1,2,3…n)由于目标函数优化f ，从而优化解必可）（i i ni 1X q max ≤≤达到2n X +使达到,这样得到线性规划模型 Min 2n 1n 1i i i i X X r -p 1f ++=∑+-=λλ）（）（s ．t n+1i i i 1i i n+2i p X q X X 0i 1,2,3...n,X 0i 1,2,3...n+2=⎧⎪⎪-≤=⎨⎪≥=⎪⎩∑（1+）=1，，，4.模型二的求解：（一）采用MATLAB优化工具箱中的线性规划函数求解，它优化下列线性规划模型：XminC Ts.t bAX≤X,N)使用格式为X=lp(C,A,b,vlb,vub,其中vlb，vub分别是上下界，X0为初始值，N表示约束条件中前N个约束为等式约束（二）计算步骤1．输入数据，选取权因子λ；2．生成矩阵C,A,b3．根据需要取vlb,vub,X0,N(问题中vlb取零向量,V去1，vub和X0没有特殊的要求，设为空集)4.．使用MATLAB函数lp求解；七、模型的结果分析与评价1.结果分析模型一：风险投资种类n=4时，建立模型求解，任意给定投资风险上限k，在风险不超过k的情况下确定最优组合，列表2如下：n=4是的风险收益图如下：0.050.10.150.20.250.3k 风险y 收益风险收益图1由列表（1）和图（1）可知，收益y 随着风险上限k 的增加而增加，在0~0.007附近增长速度最快，之后增长速度变缓慢。