2019届高三数学质量检测暨期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1. 等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则3()2f 等于( )A.32 B ．－14 C.14 D.12 3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B ．1 C.32D. 3 4. 若函数()f x 的导函数2'()43f x x x =-+，则使函数(1)f x -单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ． []0,1B ．[]3,5 C. []2,3 D []2,45．已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 6.等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、Tn ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A. 1315 B. 2335 C. 1117 D. 497．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其意思为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天所走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，请问第二天走了 ( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3613S S =，则612S S 等于（ ） A ．81 B ．31 C ．91 D ． 103 9. 函数2log (2)a y x ax =-+在区间(],1-∞上是减函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)1,+∞C ．[)2,3D ． (2,3) 10. 函数2ln(23)2()x x f x x+-=的图象在点(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A . 23B . 43C . 12D . 1611. 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，'()f x >2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 12．已知函数132log ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨⎪-+≤⎩，若对任意的x R ∈，不等式27()24f x m m ≤-恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,1,8⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,+∞D ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13.等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．14．函数()ln(1)g x x x =+-的最大值是______．15. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是_______．16. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－2)＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，求它的通项公式．18. （12分）设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤2x －2.19. （12分） 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．20.(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .21. （12分）已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若x ＝1为f (x )的极值点，求a 的值；(2)若y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y －3＝0，求f (x )在区间[－2,4]上的最大值．22. （12分）已知函数f (x )＝ln x x－x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值．参考答案：一、 选择题：1—6 B A D C A C 7——12 B D C C B B二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13. 180 14. 0 15. (0,1) 16. 2三、解答题17. 解 设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝－4，a 3a 7＝－12，所以a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两根．因为d >0，所以a 3<a 7.解方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－6，a 7＝2.由a 7＝a 3＋4d ，得d ＝2. 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋2(n －3)＝2n －12.18. (1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋b x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3. (2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－x －12x ＋3x .当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.19. (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12. 又c n ＝a n －1， ∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列． (2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .20. 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4n ＋1， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4n ＋1. 21. 解析： (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1， ∵x ＝1是f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0，即a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.(2)∵(1，f (1))在x ＋y －3＝0上．∴f (1)＝2， ∵(1,2)在y ＝f (x )的图像上，∴2＝13－a ＋a 2－1＋b ， 又f ′(1)＝－1，∴1－2a ＋a 2－1＝－1， ∴a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，b ＝83， ∴f (x )＝13x 3－x 2＋83，f ′(x )＝x 2－2x ， 由f ′(x )＝0可知x ＝0和x ＝2是f (x )的极值点．∵f (0)＝83，f (2)＝43，f (－2)＝－4，f (4)＝8， ∴f (x )在区间[－2,4]上的最大值为8.22. 解：(1)∵f ′(x )＝1－ln x x2－1， 令f ′(x )＝0，得x 2＝1－ln x . 显然x ＝1是上面方程的解．令g (x )＝x 2＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝2x ＋1x>0， ∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解．∵当0<x <1时，f ′(x )＝1－ln x x2－1>0； 当x >1时，f ′(x )<0. ∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故①当0<2m ≤1，即0<m ≤12时，f (x )在[m,2m ]上单调递增． ∴f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m 2m－2m . ②当m ≥1时，f (x )在[m,2m ]上单调递减，∴f (x )max ＝f (m )＝ln m m －m . ③当m <1<2m ，即12<m <1时，f (x )max ＝f (1)＝－1. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。