绝对误差 = 测量值－真值
相对误差 =
（2）．误差的分类
根据误差性质和产生原因可将误差分为以下几类 1）系统误差 2）随机误差 3）过失误差
系统误差
在相同的测量条件下多次测量同一物理量，其误差的绝
对值和符号保持不变，或在测量条件改变时，按确定的规律 变化的误差称为系统误差． 来源有以下几个方面： 1）由于测量仪器的不完善、仪器不够精密或安装调试不当， 刻度、零点不准。 2）由于实验理论和实验方法的不完善，所引用的理论与实 验条件不符， 3）由于实验者缺乏经验、生理或心理特点等所引入的误 差．如每个人的习惯和偏向不同，有的人读数偏高，而有的 人读数偏低．
误差 x(xx0)
概率密度函数
f (x) 1
e2x22
2
f ( x)
标准误差
lim n
xi2
n
0
x
正态分布
f (x) 的物理意义:
随机误差介于 [x,xd(x)]
小区间内的概率为：
f (x)
f(x)d(x)
随机误差介于区间(-a,a)
内的概率为
- 0 a x
a
a
P(axa)f(x)d(x) a
作任一次测量，随机误差落在区间 的
概率为 。
(Sx,Sx)
68.3%
P ( 2Sxx2Sx)0.954
P ( 3Sxx3Sx)0.997
S小x ，小误差占优，数据集中，重复性好。
总面积=1
测量结果最佳值—算术平均值
多次测量求平均值可以减小随机误差
x
1 n
n i 1
xi
算术平均值是真值的最佳估计值
AtnSx n(nt21)i n1(xi x)2
B类分量 ：B 用其它非统计方法评定的分量
只考虑仪器误差
测量值与真值之间可 能产生的最大误差
B 仪 3
常用仪器误差见下表
仪器名称 钢直尺 钢卷尺
游标卡尺 螺旋测微计
3．精确度：是对测量结果中系统误差和随机误差的综 合描述．它是指测量结果的重复性及接近真值的程 度．对于实验和测量来说，精密度高准确度不一定高； 而准确度高精密度也不一定高；只有精密度和准确度都 高时，精确度才高．
3、随机误差的正态分布与标准误差 （1）随机误差的正态分布规律
大量的随机误差服从正态分布规律
随机误差是由于人的感观灵敏程度和仪器精密程度有限、 周围环境的干扰以及一些偶然因素的影响产生的．由于随 机误差的变化不能预先确定，所以对待随机误差不能像对 待系统误差那样找出原因排除，只能作出估计．
虽然随机误差的存在使每次测量值偏大或偏小，但是， 当在相同的实验条件下，对被测量进行多次测量时，其大 小的分布却服从一定的统计规律，可以利用这种规律对实 验结果的随机误差作出估算．这就是在实验中往往对某些 关键量要进行多次测量的原因．
lim n n
n
xi
i1
0
（2）、随机误差估算—标准偏差
误差： xi xi x0 偏差： xi xi x
标准偏差：
xi2 (n)
n
标准误差
Sx
(xi x)2 n1
标准误差与标准偏差的关系
st0.683
n6
s
3.标准偏差(标准误差)的物理含义 n1
测量不确定度及估算 不确定度基本概念
被测量的真值所处的量值范围作一评定 测量结果： 测量值X和不确定度 x 单位 置信度
x9.510 5.00m5 m (P=0.68)
真值以68%的概率落在
[9.51m 0 m 9.5, 2m 0 m 区间]内
不确定度简化估算方法
A类分量 ：A 多次测量用统计方法评 定的分量
（3）、测量的精密度、准确度和精确度
对测量结果做总体评定时，一般均应把系统误差和随机 误差联系起来看
1．精密度：表示测量结果中的的随机误差大小的程 度．它是指在一定的条件下进行重复测量时，所得结果 的相互接近程度，是描述测量重复性的．精密度高，即 测量数据的重复性好，随机误差较小．
2．准确度：表示测量结果中的系统误差大小的程 度．用它描述测量值接近真值的程度，准确度高即测量 结果接近真值的程度高，系统误差较小．
多次测量并不能减少系统误差．系统误差的消除或减少是实 验技能问题，应尽可能采取各种措施将其降低到最小程度．
随机误差
随机误差也被称为偶然误差，它是指在极力消除或修 正了一切明显的系统误差之后，在相同的测量条件下，多 次测量同一量时，误差的绝对值和符号的变化时大时小、 时正时负，以不可预定的方式变化着的误差．
过失误差
凡是测量时客观条件不能合理解释的那些突出的误差， 均可称为过失误差．
过失误差是由于观测者不正确地使用仪器、观察错误或 记录错数据等不正常情况下引起的误差．它会明显地歪曲客 观现象，这一般不应称为测量误差，在数据处理中应将其作 为坏值予以剔除，它是可以避免的，也是应该避免的，所以， 在作误差分析时，要估计的误差通常只有系统误差和随机误 差．
静态动态测试数据处理优 秀课件
7.1 测量误差分析
测量与误差 随机误差的处理 测量不确定度及估算 系统误差 实验数据处理基本方法 等精密度直接测量参数测定值
一、测量与误差
1、测量 所谓测量就是利用科学仪器用某一度量单位将待测量的 大小表示出来，也就是说测量就是将待测量与选作标准的 同类量进行比较，得出倍数值，称该标准量为单位，倍数 值为数值．因此，一个物理量的测量值应由数值和单位两 部分组成，缺一不可 。
按方法分类：
► 直接测量
► 间接测量
按条件分类：
► 等精度测量
► 非等精度测量
直接测量
测量 间接测量
L3.15cm
数值 单位
m r 2h
2、误差
（1）．真值与误差 物理量在客观上有着确定的数值，称为该物理量的真
值．由于实验理论的近似性、实验仪器灵敏度和分辨能力的 局限性、环境的不稳定性等因素的影响，待测量的真值是不 可能测得的，测量结果和真值之间总有一定的差异我们称这 种差异为测量误差，测量误差的大小反映了测量结果的准确 程度．测量误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差表 示．
(-a,a)为置信区间、P为置信概率
满足归一化条件
f (x)
总面积=1
f (x)d(x)1
可以证明：
0
x
P ( x)f(x)dx ()0.683
P ( 2 x2 )0 .954 3
P ( 3 x3 )0 .997 极限误差
正态分布特征：
f (x)
①单峰性 ②对称性
③有界性 ④抵偿性
即
0
x
1