m M 4 mM 2 光学波： 1 1 2 sin ( qa ) mM m M ) (

2
m M 4 mM 2 声学波： 1 1 2 sin ( qa ) mM m M ) (

第三章 晶格振动
双原子链的色散关系：
对于连续介质的弹性波，有：
显然；
c为波速
cq
第三章 晶格振动
表明当
q 时 a

一维单原子链中的格波相当于连续介质中的弹 性波。
相邻原子的相对位移为δ时，相对伸长为： a
相互作用力为：
F ( a ) a

第三章 晶格振动
其中：链的伸长模量为：
a
m 链的密度为： a
2 cos( qa ) A ( M 2 ) B 0
齐次方程组有非零解的条件是：
( m 2 ) 2 cos( qa ) 0 2 2 cos( qa ) ( M 2 )
2
故：
( M 2 )( m 2 ) [ 2 co q ) 0
表明原胞内的两个原子以相反的位相、不 同的振幅进行振动。
Am BM 0
第三章 晶格振动
光学波的长波极限描述的是同一原胞里的 两个原子相对于质心的振动。
光学波时两种原子是反向运动
两种格波中m和M原子振动振幅之比
—— 光学波
m 2 B ( ) A 2 cos aq
2
故：
a 伸长模 c a
m m ( ) a 密度
即当把原子链看成是弹性波时，c为弹性波的 波速。
第三章 晶格振动
对一维双原子链，有：

2
2 M 4 mM m 2 2 1 1 2 sin ( qa ) 2 mM m M ) (
—— 声学波
m 2 B ( ) A 2 cos aq
2
——
时m和M原子振动的振幅
声学波
m 原子静止不动，相邻原子振动的相位相反
光学波
M原子静止不动，相邻原子振动的相位相反
长波极限
声学波
2 ( a ) q m M
声学波的色散关系与一 维布拉维格子形式相同
β x2n-1
β x2n
β x2n+1
β x2n+2
第三章 晶格振动
对绿色原子：
d x m ( x x x x ) 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n dt
对红色原子：
2 2 n 2

d x M ( x x x x ) 2 n 2 2 n 1 2 n 2 n 1 dt
代入
d x m ( x x x x ) 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n dt
2 2 n 2

i ( t q ( 2 n 1 ) a ) m ( i) Ae [ Be i ( t q ( 2 n 1 ) a ) i ( t q 2 na ) Be 2 Ae ]
( ) min ~ ( ) max
一维双原子晶格 叫做带通滤波器
第三章 晶格振动
3.2.3 声学波与光学波
研究q 0时ω(q)的关系具有特殊意义：
对一维单原子链：
第三章 晶格振动
有：
2 42 1 [ 1 cos( qa )] sin ( qa ) m m 2
2


2 2 a 伸长模 这里：c a M m Mm a
密度
其中：伸长模量=β(2a) 密度=（m+M/a）
第三章 晶格振动
即长声学波的频率正比于波数，就是把一维 链看成是连续介质时的弹性波。
0 时 0 对于长声学波， q
B m 2 () 1 A 2 cos( qa )
2 2

第三章 晶格振动
2
4 2 2 2 2 Mm 2 ( m M ) 4 4 co ( q ) 0

4
Mm 2 ( m M ) 4 si ( q ) 0
2 2 2

第三章 晶格振动
可以得到两个ω2的值：

第三章 晶格振动
3.2 一维双原子链
3.2.1 运动方程 许多晶体的原胞里含有的原子数多于一个
有关参数也会有变化：
为了表示复式格子的晶格振动特性，考虑由两 个不同原子组成的一维双原子链：
第三章 晶格振动
一维双原子链： 红色原子质量M； 绿色原子质量m
2n-2
a
2n-1
a
2n
a
2n+1
a
2n+2
β x2n-2
2 iqa iqa 2 iqa iqa
M B ( e e ) A 2 B
整理后得到：
( m 2 ) A 2 cos( qa ) B 0
2 2
( M 2 ) B 2 cos( qa ) A 0
第三章 晶格振动
2 改写：( m 2 ) A 2 cos( qa ) B 0 2
第三章 晶格振动
即 n 共有 N 个不同的取值：
由 N 个原胞（共含2N个原子）组成的一维双 原子链，
q 可取 N 个不同的值，每个 q 对应两个解 一共2N个不同的格波，正好等于链的自由度
得到了 一维双原子链 全部的振动模式。
q的取值
h q 2 —— h为整数 2aN
每个波矢在第一布里渊区占的线度
B m 2 () A 2 cos( qa )
2
2 m ( ) 2 2 B m 2 () A 2 cos( qa ) 2
当 q 1 时， cos( 0 时 , B m m m ( ) mM M A m M
长声学波中相邻原子的振动
B ( ) 1 A
原胞中两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 代表原胞质心的振动
长波极限
光学波
B m ( ) A M
同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反
原胞质心保持不动，原胞中原子之间相对运动
两种格波中 m 和 M 原子振动振幅之比
长光学波与电磁波的作用
2

表明原胞里的两种原子的运动是一样的， 振幅和位相都没有差别。
第三章 晶格振动
长声学波代表了原胞的质心的振动
而q=0时则代表了整个晶体的平动。
或者说声学波时两种原子是同向运动的。
第三章 晶格振动
对光学波：
m M 4 mM 2 1 1 sin ( qa ) 2 mM m M ) (
m M 4 mM 2 1 1 sin ( qa ) 2 mM ( m M )
2
m M 2 mM 2 [ ( qa ) ] 2 mM( m M ) 2 2 ( qa ) ( m M )
第三章 晶格振动
或：
2 2 ( aq ) ( a ) q m M m M cq
2
2
第三章 晶格振动
仍然采用周期性边界条件：
N （ 2 qa ) 2 n( n 为整 )

2 n q ( n 为整 ) 2 Na
第三章 晶格振动
又因为：
q 2 a 2 a


2 n
N N n 2 2
2 a2 Na 2 a
长波极限下，对于典型的和值
远红外光波激发离子 晶体，可引起晶体中 长光学波的共振吸收
—— 对应于远红外的光波
光波的频率 波矢远远小于一般格波的波矢，只有 q~0 的长 光学波可以与远红外的光波发生共振吸收
可与光波作用的 长光学波声子称 为电磁声子
作业： 一、P.82~83；3.4; 3.5； 二、一维单原子链的振动方程使用了哪些近似？
( ) max ( ( ) min (

mM
) {( m M ) ( M m )}
1/ 2
1/ 2

mM
)1/ 2 {( m M ) ( M m )}1/ 2
2 1/ 2 ( ) M 2 1/ 2 ( ) m
因为 M＞m
—— 不存在格波
—— 频率间隙
第三章 晶格振动
则有：
B m 2 ( ) A 2 cos( qa )
2
B m 2 ( ) A 2 cos( qa )
2
第三章 晶格振动
由格波解：
x Ae 2 n
i ( t q 2 na ) i ( t q ( 2 n 1 ) a )
q Na
/ N a Na
—N为晶体中的原胞数目
第一布里渊区允许的q值的数目
— 对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 — 总的格波数目为2N ：
原子的数目: 2N
第三章 晶格振动
3.2.2 色散关系
光学波
ω+(q) ω-(q)
声学波
色散关系的特点 短波极限
两种格波的频率
2

当 q0 时 2 ( m M ) mM
2
第三章 晶格振动
即与n无关，表明N 个联立方程都归结为同一个 方程。
或者：只要ω与 q满足：
2 ( m M ) 2 mM
其中：
mM 为折合质 m M
第三章 晶格振动