例如：
顶点都为正或为负的2种情况，都没有等值面 16种情况，其中一个顶点从所有其他符号相反
实际上，仅有15 拓扑不同的情况。
256种可能的情况 可以归纳为这15个 基于典型个案 互补的基础上 （顶点为正和负的互换） 和旋转对称
根据f*反求
t = (f* - f1)/(f2 –f1)
f2
f*
f1
x1
t
x2
f2 f*
f1
x1
t
x2
等值面建立 – 一个顶点为正的情况
连接交叉点，形成了一个三角形 等值面的一部分
等值面建立 – 正顶点在对应角处
等值面建立
通过分析这种方式所有256种情况，尽管它很相差 很大，很多情况下是相似的。
科学计算可视化
三维平面数据场可视化
Visualization Techniques Three Dimensional Scalar Data
三维标量场可视化
三维空间数据场方法
三维空间数据场与二维数据场不同，它是对三维空间中的采样，表示了一 个三维空间内部的详细信息，这类数据场最典型的医学CT采样数据，每 个CT的照片实际上是一个二维数据场，照片的灰度表示了某一片物体的 密度。将这些照片按一定的顺序排列起来，就组成了一个三维数据场。此 外，用大规模计算机计算的航天飞机周围的密度分布也是一个三维数据场 的例子。
的等值面，这些等值面也就构成了整个物体的表面。
表 面 绘 制 方 法 绘 制 的 动 物 骨 骼 表 面
Marching Cubes算法
数据集
适用于三维规则标量场 每一立方体单元称为一个体素（voxel），数据场的数据值分布
在体素的8个顶点上 典型代表：CT数据、MRI数据
灰质
白质
Voxel 13
Marching Cube方法
体数据
每个体素转换 单位立方体
顶点 f111
f011
f001 体素
f000
f101
f010
f110
f100
数据增强 - 最近邻插值
体素内的任意点都用最近邻插值计算 f011
速度快
f001
不连续
f010 f000
f111
f101 f110
f100
数据增强 -三线性插值
断层间的构造等值面 (断层间表面重构)
在一个断层中找出物体的轮廓线可以利用上面介绍的等值线方法。
找到所有轮廓线后，第二步是在各个相邻的轮廓线之间构造出物体的 表面，然后进行绘制。物体的表面可以用三角面片拼接出来，拼接的 方法如图所示，就是在相邻的两层上找出三个点，其中两个点在同一 层，另一个点在另一层。在拼接过程中，一次加入一条边，就可以组 成一个三角面片，但加入一条边有两种选择，例如图中P1Q2和P2Q1 ，如果选择不恰当，则拼接出的表面比较乱，也不光滑。最简单的选 择方法可以采用贪心方法，就是每次选择一条较短的边加入，这样可 以保证构造出的表面比较光滑。
三维空间数据场方法主要分为:
1、抽取表面信息的可视化方法(面绘制) : 分为断层间的构造等值面 、等
值面生成
2、直接体绘制方法(体绘制) ：光线投射 、投影方法 、其它体绘制方法
抽取表面信息的可视化方法 (面绘制)
断层间的构造等值面 (断层间表面重构) 如CT采样数据场这样的三维数据，可以看成是由一些二
三线性插值:
f(x,y,z) =
f000(1-x)(1-y)(1-z) + f100x(1-y)(1-z) + f010(1-x)y(1-z) + f001(1-x)(1-y)z + f110xy(1-z) + f101x(1-y)z + f011(1-x)yz + f111xyz
f001 f000
10
等值面生成(面绘制)用等值面的方法。等值面可以看成是等值 线的三维扩展。等值面的构造也就是等值线构造方法的三维扩展，最 典型的就是Marching Cube方法。二维数据场的基本单元是矩形，在 三维空间的基本单元是一个小立方体。如果我们找出每个小立方体中
维数据场按一定顺序排列组成的，各断层数据之间有很大 的相关性。断层数据广泛存在于医学、生物、地质、无损 探伤等应用领域，其各断层间相互平行，每一断层与实体 的交线就是实体在该断层的轮廓线。如果先在各层之间找 出物体的边界线，再利用断层之间的连贯性，就可以从一 系列断面上的轮廓线中推导出相应物体的空间几何结构。
f011 f010
f111
f101 f110
f100
数据增强 -三线性插值
表示的数值由如下表示
(i) 4 个1维x 方向的插值
(ii) 2 个1维y方向插值
f001
(iii) 1个 1维z方向插值
f000
f011 f010
f111
f101 f110
f100
From University of Bonn
断层间的构造等值面 (断层间表面重构)
主要应用领域是医疗成像 不同的扫描技术包括：
CT（计算机断层扫描） MRI MRI（核磁共振成像）
多个二维切片的三维图像
切片 切片间的空隙
切片
扫描仪给平均 一个地区价值 - 而 不是在一个点的值
断层间的构造等值面 (断层间表面重构)
CT
MRI
SPECT
单光子发射计算机断层成像术
断层间的构造等值面 (断层间表面重构)
断层数据的表面重构是从一系列断面上的轮廓线 推导出实体的空间几何结构
相邻层的轮廓线位于相互平行的两个平面
断层间的构造等值面 (断层间表面重构)
如果在相邻两层，各自只有一条轮廓线，其三维 重构问题称为单轮廓线重构问题
如果在相邻两层，有多条轮廓线，其三维重构问 题称为多轮廓线重构问题
建立等值面
简单起见，以数值为零的水平等值面为例，并记
正顶点为
立方体有八, 均为正或均为负。 共计 28 = 256 不同情况
以下两种最简单
此时，立方体内部无等值面部分
等值面建立 – 一个顶点为正的情况
逆线性插值的交点
逆线性插值
根据线性插值公式 t处的函数 值:
f(x*) = f1 + t ( f2 - f1 )
三 角 面 片 拼 接 物 体 表 面
面绘制算法
将三维数据场中具有某种共同属性的采样点按其空间位 置连接起来，构成一张连续表面，然后对抽取出的表面 进行绘制
等值面算法
等值面：在一给定三维数据场中，采样值均为某一给定值的所 有空间点的集合
三维标量场可视化中最常用 Marching Cubes方法