（一）概念 （二）分类 （三）举例
可去间断点 f ( x 0 ) f ( x0 )
第一类间断点 f ( x0 )和 f ( x0 )
间断点
都存在
跳跃间断点 f ( x 0 ) f ( x0 )
无穷间断点 第二类间断点 f ( x0 )和 f ( x0 ) 至少一个不存在
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
y
o
x
y
o
x
y
o
y
x
o
x
y
o
y
x
o
x
y
o
y
x
o
x
增量
u u2 u1
u 0 u2 u1 u 0 u2 u1 u 0 u2 u1
显然
y
1 2
1
lim f ( x ) 1 f (1)
x 1
x 1为其可去间断点
.
o
y
1
1
x
x 1 , x 0 (5) y f ( x ) 0 , x 0 x 1 , x 0
o
f (0 ) 1 ,

f (0 ) 1
.

1
x
x 0 为其跳跃间断点
[a , b ]上连续.
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
二、函数的间断点
（x ) 在点x0 的某去心邻域内有定义, 若函数 y f ( x ) 在点x0 不连续, 则称函数 y f ( x ) 在点 x0间断，而点 x0称为 y f ( x ) 的不连续点或间断点. 函数 y f ( x )在 x0 处间断的情形 (1) 在 x x0 没有定义;
那么称函数f (x)在点x0连续. 注 函数f (x)在点x0连续的要点：
函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义 lim f ( x )存在
x x0 x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0
x 0
那么就称函数f (x)在点x0连续. 注 在定义式中,Δx为变量,x0要视为常量. 例1 证明 y sin x 在 x 0 ( x 0 R ) 处连续.
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
那么称函数f (x)在点x0连续. 注 函数f (x)在点x0连续的要点：
函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义
x 0
lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0
x 0
x 0
x x0
lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 令 x0 x x x 0 lim f ( x) f ( x0 )
(2) 虽在 x x0 有定义,但 lim f ( x ) 不存在;
(3) 虽在 x x0 有定义,且 lim f ( x ) 存在,但 lim f ( x ) f ( x0 )
x x0 x x0
x x0
二、函数的间断点 （一）概念 （二）分类 （三）举例
二、函数的间断点
振荡间断点
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
y
y tan x

2
x 为其无穷间断点. 2
o
x
y
y sin
1 x
x 0为其振荡间断点.
y
0
x
x 1为可去间断点.
o 1
x
x , x 1 (4) y f ( x ) 1 2 , x 1
x 0
x 0
x x0
lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 令 x0 x x x 0 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
定义2 设函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
x x0
lim f ( x )
f (x )
0
x0 .
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
定义 设函数y=f(x)在点x0的某右邻域内有定义，如果
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
(2) u 是一个整体记号
y
f ( x 0 x ) f ( x0 )
f ( x)
注 (1) u 可正可负
o
x0
x 0 x
x
u
2
u
2
y f ( x 0 x ) f ( x 0 )
定义1 设函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
x 0
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
定义
若函数 y f ( x ) 在 ( a , b )内的每一点处连续， 则称函数
y f ( x ) 在 ( a , b )内连续.
定义 若函数 y f ( x )在 ( a , b )内的每一点处连续， 在x a 处右连续, 在 x b 处左连续， 则称函数 y f ( x ) 在
那么称函数f(x)在点x0右连续. 类似可得左连续的定义 定理 函数y=f(x)在点x0连续 例2
y=f(x)在点x0既左连续又右连续
x 2 讨论函数 f ( x ) x 2
x0 x0
在 x 0 处的连续性.
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
x x0
定义2 设函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
x x0
lim f ( x )
f (x )
0
那么称函数f (x)在点x0连续. 注 函数f (x)在点x0连续的要点：
函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义 lim f ( x )存在
x x0
x 0
lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0
第八讲 函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
（一）函数在一点处连续的概念
思 考
1．处处有定义，但处处不连续的函数
2．处处有定义，仅在一点连续的函数
x0 , x0 内有界.
定理 函数 y f ( x )在 x0处连续,且 f ( x 0 ) 0, 则 0 使y=f (x)在 x 0 , x0 内恒有 f ( x ) 0.
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
x 0
x 0
x x0
lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 令 x0 x x x 0 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
定义2 设函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
x x0
lim f ( x )
f (x )
0
4．左连续与右连续 5．性质
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
定理
函数 y f ( x ) 在 x0 处连续的充要条件是： 组成的数列 f ( x n )的极限都存在,且都等于 f ( x0 ). 定理 函数 y f ( x ) 在 x0 处连续， 则 0, 使y=f (x)在 对于任意一个以 x0为极限的数列 x n , 对应的函数值
x x0
定义2 设函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
x x0
lim f ( x )
f (x )
0
那么称函数f (x)在点x0连续. 注 函数f (x)在点x0连续的要点：
x 0
lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
x 0
lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0
x 0
x 0
x x0
lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 令 x0 x x x 0 lim f ( x) f ( x0 )
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3