《高等数学下》期中试题参考答案
一．填空题 (每小题3分，共21分)
1．lim x →0⎰ 0x 2sin 2tdt x 4 = lim x →02xsin 2x 4x 3 = lim x →0sin 2x 2x 2 = 12
. 2．⎰-11 x 2+sinx 1+x 2
dx = ⎰-11x 21+x 2dx +⎰-11sinx 1+x 2dx = 2⎰01x 21+x 2dx +0=2⎰01(1-11+x 2)dx=2-2arctanx|01=2-π/2 3．⎰-∞+∞dx x 2+2x+2 = ⎰-∞+∞d(x+1)(x+1)2+1
= arctan(x+1)|-∞+∞ =π/2 – (-π/2) = π 4．空间曲线 ⎩⎨⎧ z=2-x 2-y 2 z=x 2+y 2
在XOY 平面上的投影为 ⎩⎨⎧x 2+y 2=1z=0 5．设z = ln(x+lny) , 则 1y ∂z ∂x - ∂z ∂y = 1y •1x+lny - 1/y x+lny
= 0 6．交换 ⎰ 04 dy ⎰y 2 f (x,y)dx 积分次序得 ⎰02 dx ⎰0x 2
f (x,y)dx
7．设f(x)是连续函数，且⎰ 0x 3-1f (t)dt =x ，则 f (7) = 。
两边求导得到 f(x 3-1)3x 2=1， 将x=2代入得到 f(7)=1/12
二。
单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。
每小题3分，共18分。
）
8. 下列等式正确的是 （C ） Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=f(x) Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=f(x) Ｃ、d dx ⎰a
x f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x) 正确的关系式为：
Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=0 Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=0 Ｃ、d dx
⎰a x f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x)+C 9. 设⎰0x f(t)dt = 12f(x)- 12
，且f(0)=1，则 f(x)= （ A ） A 、e 2x B 、12e x C 、e x 2 D 、12
e 2x 两边求导得到f(x)= 12
f '(x) , 只有 f(x)= e 2x 10. 已知函数 f (x+y, xy) = x 2+y 2 ，则 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y
= （ B ） A 、2x+2y B 、2x – 2 C 、2x – 2y
D 、2x + 2
f (x+y, xy) = (x+y)2-2xy , f(u,v)=u 2-2v, 所以 f(x,y)=x 2-2y=x 2+y 2 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y
=2x-2 11. 二元函数 z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 ( D )
A 、8
B 、-12
C 、16
D 、-8
∂z ∂x =2x+4, ∂z ∂y
=2y-4, z 的极小值点为(-2,2)，z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 –8 12. 下列广义积分收敛的是 （ C ）
Ａ、⎰1+∞—— dx 4x 3 Ｂ、⎰e +∞lnx x dx Ｃ、⎰ 01—— dx 3x
Ｄ、⎰e +∞dx x lnx 利用常用广义积分的指数判别法 ⎰ 01
—— dx
3x 收敛
13. f(x,y)=ln x 2 -y 2 则 ∂2
f(x,y)
∂x ∂y =
（
C ） A 、x 2-y 2(x 2-y 2)2 B 、y 2-x 2(x 2-y 2)2 C 、2xy (x 2-y 2)2
D 、- 2xy (x 2-y 2)2 因为 ∂f(x,y)
∂x =1x 2 -y 2 •2x 2x 2 -y 2 =x x 2-y 2 ， 所以 ∂2f(x,y)∂x ∂y =2xy
(x 2-y 2)2
三。
计算题 (每小题6分，共36分) 14. 计算定积分 ⎰ 04 e 2x+1
dx
[解]：原积分I ======2x+1 = t
x=(t 2-1)/2 ⎰ 13
t e t dt = te t |13 - ⎰ 13
e t dt =3e 3-e – (e 3-e) =2e 3
15. 计算定积分⎰ 13
———— arctan x
x(1+x) dx
[解]：原积分I ======x = t x=t 2 ⎰ 13
———— arctant t(1+t 2) 2tdt = 2⎰ 13
arctant d(arctant)
= [(arctant)2]13 = (π3)2- (π4)2
= 7π2/144
16. 已知 z = f(x 2y, x - 2y)，求 ∂z
∂x , ∂z
∂y , .
[解]：∂z
∂x = f 1'2xy+ f 2' ∂z
∂y = f 1'x 2 -2f 2'
∂2z
∂x ∂y = (f 11"x 2 -2f 12" )2xy+2xf 1' +f 21"x 2 –2f 22"
=2x 3y f 11" + (x 2-4xy) f 12"–2f 22"+2xf 1'
17. z=z(x,y) 由方程 2xz – 2xyz + ln(xyz) = 0确定，求(1,1)点处的全微分。
[解]：x=1,y=1 ⇒ z=1
F x '|(1,1,1)= [2z - 2yz +yz/xyz]|(1,1,1) = 1
F z '|(1,1,1)= [2x – 2xy +xy/xyz]|(1,1,1) = 1
F y '|(1,1,1)= [ - 2xz +xz/xyz]|(1,1,1) = -1
∂z
∂x |(1,1) = - F x '
F z '|(1,1) = -1, ∂z ∂y |(1,1) = - F y '
F z '|(1,1) = 1
dz=∂z ∂x dx + ∂z ∂y dy = -dx+dy 18. 计算二重积分 D ⎰⎰ xe xy dxdy D: 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 [解]：原积分I=⎰01dx ⎰01xe xy dy =⎰01e xy|01dx = ⎰01(e x -1)dx = (e x -x)|01
= e-1-1= e-2
19. 计算二重积分 D ⎰⎰ y dxdy ， D: x 2+y 2=2x, y=x, X 轴所围成的区域。
[解一]：原积分I ==⎰01dy ⎰y 1+1-y 2
ydx
=⎰01y(1+1-y 2 - y)dy
=[12y 2 - 13(1-y 2)3/2 - 13
y 3]01 =12 - 13 + 13 = 12
[解二]：原积分I =⎰0π/4d θ⎰02cos θrsin θ rdr =⎰0π/4[sin θ r 33] 02cos θd θ = -83⎰0π/4cos 3θdcos θ =-83 [cos 4θ4]0π/4 = 12
四、应用题（每小题9分，共18分。
）
20.求由曲线y=x 与此曲线在点(1,1)处的切线及X 轴所围平面图
形面积S 及此图形绕X 轴旋转而成的旋转体体积V 。
[解]：y '|(1,1) =1/2x|(1,1) =1/2
切线方程：y-1=(1/2)(x-1) 2y-1=x
交点 A(-1,0), B(1,1)
S=⎰01(y 2-2y+1)dy = [y 3/3- y 2+y]01= 1/3
V=π⎰-11(x+12)2dx - π⎰01(x)2dx = π4[(x+1)33]-11 - π [x 22]01 = π (23 - 12 )= π6
21. 投入原料A, B 各x, y 单位，生产数量 z =0.01x 2y 。
A,B 原料的单价分别为10元，20元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单位时，使生产数量最大。
[解]：目标函数： z =0.01x 2y 约束条件： 10x+20y=300
设F(x,y,λ)= 0.01x 2y+λ(10x+20y-300)
⎩⎨⎧F 'x =0.02xy+10λ=0
F 'y =0.01x 2+20λ=010x+20y-300=0
消去λ得到0.04xy - 0.01x 2=0 ⇒ x(4y-x)=0 x=4y 解得 x=200, y=50，当A 原料购买200单位，B 原料购买50单位时，生产数量最大。
五、证明题（每小题7分，共7分。
）
22. 证明：⎰ 0a x 5f(x 3
)dx = 13⎰ 0a 3
xf(x)dx [解]：右式换元 x=t 3, dx=3t 2, 变换上,下限，变0≤x ≤a 3为 0≤t ≤a
右式=13⎰ 0a 3xf(x)dx=13
⎰ 0a t 3f(t 3)3t 2dt =左式。