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cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1,2,, m；j 1,2,, n) k 1 由定义可知，矩阵 A 的列数与 B 的行数相等时，两个
矩阵才能相乘. C (cij )mn 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵的 第 i 行与矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和.
1 2
例 2.2.4
设 A 3 0
1 4
，
B
2 4
3 1
，求
AB
.
解
1 AB 3
0
2
1 4
2 4
1 2 2 4
3 1
3 2 (1) 4 0 2 4 4
1 3 21 10
3
3
(1)
1
2
0 3 41 16
5 .
8 4
2
例 2.2.5
设 A 1
2
1
，
B
1
，求
AB
,
BA
.
大连理工大学出版社
目录
1.矩阵的加(减)法运算 2.矩阵的数乘运算 3.矩阵的乘法运算 4.矩阵的转置 5.方阵的行列式
1. 矩阵的加(减)法运算
定义 2.2.1 设 A (aij ), B (bij ) 都是 m n 矩 阵（此时称这两个矩阵为同型矩阵）.若
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) ，则称矩阵 A 与 B 相 等，记作 A B .
a11 a12 a1n
a11 a21 am1
， A
a21
a22
a2n
AT
a12
a22
am
2
.
am1
am2
amn
a1n
a2n
amn
对于矩阵的转置，有以下运算律：
(1) ( AT )T A；
(2) ( A B)T AT BT ；
通过以上计算我们可以看到，矩阵 A和B 如果可以相乘和交 换相乘，也未必有 AB BA.另外，BA为零矩阵，即 BA O ，而 A和B 都不是零矩阵，所以实数运算中“两数乘积等于零，则这两数 至少有一个是零”的规律在矩阵乘积运算中是不成立的. 我们 还看到 BA BC ，而 A C ，所以实数运算中的“如果 ab 0 ，则 a 0 或b 0 ”的结论在矩阵运算中也是不成立的.
1 3
0
3
69
27
10
11 3Βιβλιοθήκη 3399
4 2 8 1 6 3 0 6 6 9 9 6
1 1 2 2 1 1 3 3.
2 3 3 2
3. 矩阵的乘法运算
定义 2.2.4 设有两个矩阵 A (aij )ms 与 B (bij )sn ，那 么规定矩阵 A 与 B 的乘积是一个 m n 矩阵C (cij )mn ，其中
B
1 5 0 6
22 40
3 (1)
7 1
4 6
0 4
2
6
.
2. 矩阵的数乘运算
定义 2.2.3 设有矩阵 A (aij )mn 与任意一个数 ，那么规定 A 与数 的乘积记作
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
由定义 2.2.3 知矩阵的数乘运算满足下列运算律：
（1）交换律 A A A;
（2）分配律 (A B) A B ( )A A A .
例 2.2.2
设
A
2 3
4 5
1 2
，求
2A
.
解
2 2 2A 23
24 25
21 4 2 (2) 6
8 10
2 .
4
例 2.2.3 求矩阵 X ，使 2A3X B ，其中
1 2 1 4 1 1 4 2
.
2
2
解
AB 1
2
11
1
2
2
1
1
2
32
.
2
2
41 4 2 41 4 8 4
BA
1
1
2
1 51
52
51 5
10
5.
2
61 6 2 61 6 12 6
由上例可知矩阵的乘法不满足交换律，但仍然满 足下列结合律和分配律(假设运算都是可行的)：
(1) 结合律 (AB)C A(BC) ； (AB) (A)B A(B) , 是 任意实数； (2) 分配律 (A B)C AC BC .
对于两个 n 阶方阵 A、B ，若 AB BA，则称方阵 A 与 B 是可 交换的.
有了矩阵的乘法，下面我们定义矩阵的幂.设 A (aij )nn ， 定义
A1 A ， A2 A1A1，， Ak1 Ak A1 ， 其中 k 为正整数，即 Ak 是 k 个 A 连乘，显然 A 必须是方阵.
思考 根据矩阵运算的特点，请判断以下关系是否 成立？
当设有两个矩阵 A 与 B 的行数与列数分别相等时， 称它们是同型矩阵. 只有当两个矩阵是同型矩阵时， 它们才可以相加.
由定义 2.2.2 知矩阵的加法满足下列运算律(设矩 阵 A , B 与 C 为同型矩阵)：
（1）交换律 A B B A; （2）结合律 (A B) C A (B C) . 设 A (aij )mn ，记
A
0
3
1
5, B
3
9 7
1 .
2 4 3 0 2 1 3 6
解 在方程 2A3X B 两边同时加3X ，然后再两
边同时减 B ，再两边同时乘以1 ，可得 3
X
1 (2A B) 3
1 3
1 2 0
2
2 3 4
1 1 3
4 1
5
3
0 2
1 9 1
4 7 3
2
1
6
2 1 4 1 2 4 8 2 3 3 6 6
A (aij )mn ， A称为矩阵 A的负矩阵，显然有
A (A) 0 . 由此定义矩阵的减法为
A B A (B) .
例 2.2.1 已知矩阵
求 A B, A B.
A
1 0
2 4
73,
B
5 6
2 0
11,
解
A
B
1 5 0 6
22 40
3 (1)
70
6 6
4 4
4
7
，
A
定 义 2.2.2 设 有 两 个 矩 阵 A (aij )mn 与 B (bij )mn ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A B ，规 定为
a11 b11
A
B
a21
b21
a12 b12
a22 b22
a1n b1n
.
a2n
b2n
am1 bm1
am2 bm2
amn
bmn
( A B)2 A2 2 AB B2 , ( A B)2 A2 2 AB B2 , ( A B)( A B) A2 B2.
如果 A 与 B 是可交换的，上述关系是否成立？
4. 矩阵的转置
定义 2.2.5 将矩阵 A (aij )mn 的行与列互换，得到的 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，记作 AT . 即