25 .0 40 .0 55 .0
25 .0 25 .0 47 .5
矩阵运算应用示例三
问题描述：
设我们要为一次聚会准备餐饮，需要10个大型
三明治（巨无霸）、6夸脱（每夸脱约1.14 升——译注）果汁饮料、3夸脱土豆沙拉及2盘 开胃菜。以下数据给出3家不同供货商提供这 些商品的单价：
问题分析一：
问题所要求的是对于题目中所给出的四种矩阵，
理解它们所代表的含义，并根据所提出的三个 问题，将对应的矩阵组合起来，以乘积形式表 述出来。由于各个矩阵代表的含义不同，所以 局阵乘积所代表的含义也尽不相同。
问题分析二：
对于第一个问题是要求出为建造每种类型住宅
需要各种物品的数量，由题意对于C矩阵的定 义我们得知矩阵C正是题目所要求的答案。 对于第二个问题是要求出在每个国家制造每种物
（b）哪个矩阵乘积给出了在每个国家制造 每种物品需要多少费用？ （c）哪个矩阵乘积给出了在每个国家建造 每种类型住宅需要多少费用？
预备知识：
两个矩阵乘积的定义： 矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第
一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对 应元素乘积的和。当然，在矩真乘积定义中， 我要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数 相等。

A
机时
I/O 执行 系统
计时收费
B I/0 执行 系统
方式Ⅰ
方式Ⅱ
作业A 作业B
20 10 作业C 5 4 25 8 10 10 5
2 3 6 5 3 4

C 每种类型的作业数量 D 方式Ⅰ 方式Ⅱ 机时比
供货商A 供货商B 供货商C
巨无霸 $ 4.00 $ 6.00 $ 1.00 $ 0.85 $ 5.00 $ 5.00 $ 0.85 $ 1.00 $ 7.00
果汁饮料 $ 2.00 土豆沙拉 $ 0.65 开胃菜 $ 6.00
（a）用矩阵——向量乘积把确定每供应商为
聚会备餐的价格问题表述出来（注意在乘积中 向量处于第一位还是第二位）。 (b) 确定每一个供货商的备餐价格。
矩阵运算应用示例一
7
假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人 员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩 阵：
商店A
苹果 橘子 梨
0.10 0.15 0.10
商店B
0.15 0.20 0.10
苹果 橘子 梨
人员A 人员B
5 4
10 5
3 5
人员A
2 .7 5 .3 3 .7
输出/输入，执行程序和系统总开销所需每个单位机时的 平均费用分别为：2.7,5.3,3.7。
实验总结
矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一，它
在数值计算中有广泛的应用。 矩阵及矩阵的乘法使现实生活中繁琐的方阵计 算得到了简化。这道题就充分应用到矩阵的乘 法。
人员B购买水果的费用为：
4 0.15 5 0.20 5 0.10 2.10
此时如果用矩阵表示的话，有：
商店A 商店B
人员A 人员B
2.30 1.65
3.05 2.10
显然答案与用矩阵算出来的是一致的；同理对于（b）也是一样 的。 然而，不难看出利用矩阵求解此问题要简单明了的多。就此问题 而言，数据即简单且较少，如果是更为复杂的问题，如：假设这 里的城镇有10个，商店有50个的话。显然用一般解法是很繁琐的， 而用矩阵求解仍是只需要一个算式即可。
矩阵运算应用示例二
问题描述
设下列距阵A是在3家不同商店购买3种不同糖果的价格（以美分
计）：

糖果A
糖果B
糖果C
第一商店 10 20 20 A 第二商店 25 30 20 第三商店 30 40 35 问题a:若糖果的价格加倍，糖果的价格距阵是什么？
问题b:若糖果价格上涨50%，每块糖果的税为5美分，那么糖果的
作业A 作业B
0 .3 4 0 .7 5 利用A，B，C和D，按照下列要求求出矩阵乘积，并计算 3
作业C
这些矩阵的数字：
(a)计算矩阵乘积AB。 (b)对每种收费方式，求出每一种作业所需的总费用。 (c)计算为完成所有作业的(所有作业已概括在矩阵C中)输 入/输出，执行程序及系统开销所需的总机时。 (d)在方式Ⅰ和方式Ⅱ下，求所有作业所需总开销。 (e)计算输出/输入，执行程序和系统总开销所需每个单位 机时的平均费用。
设糖果价格上涨50%，而交纳每块糖果5美分的税后 的价格距阵为C，则C=A+0.5*A-5*E;其中E 为各个元 素值为1的3阶距阵。
利用Matlab软件可以得到以下的数据：

>> A=[10,20,20;25,30,20;30,40,35] A= 10 20 20 25 30 20 30 40 35 >> B=2*A B= 20 40 40 50 60 40 60 80 70 >> E=[1,1,1;1,1,1;1,1,1] E= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> C=A+0.5*A-5*E C= 10.0000 25.0000 25.0000 32.5000 40.0000 25.0000 40.0000 55.0000 47.5000
品需要多少费用，由题目对矩阵A和矩阵B的定义。矩 阵A的行向量代表制造一个物品所需要各种原材料的数 目，而矩阵B的列向量
矩阵运算应用示例五
问题描述：
假设我们已知下列矩阵：矩阵A给出制造不同
物品所需原材料的数量；矩阵B给出两个不同 国家中，原材料的价格；矩阵C给出为了建造 两种类型的住宅，需要多少物品；矩阵D给出 这两个国家对两种住宅的需求。
A
原材料
木材 劳力 钢材 物 品A 5 4 20 25 10 8 5 格 意大利 $3 $5
价格距阵是什么？
本题的问题只是一个简单的距阵 运算，
利用Matlab软件既可以容易的解决。 利用以下问题假设的 内容，既可以方 便的解决。
现在我们设糖果的初始价格距阵为：
问题A：
问题B：
10 20 A 25 30 30 40
20 20 35
设糖果价格加倍以后的价格距阵为B,则B=2*A。
则满足问题A的价格距阵为：
糖果A
糖果B
糖果C
第一商店 20 B 第二商店 50 第三商店 则满足问题B的价格距阵为： 60 糖果A 糖果B 第一商店 10 .0 C 第二商店 32 .5 第三商店 40 .0
40 60 80
糖果C
40 40 70
物 品B 物 品C B 木 材 劳 力
10 10 价 西班牙 $2 $6
钢 材
$3
$4
C
住宅对物品的需求
住宅 一
住宅 二 A 4 5 住宅一 50000 80000 B 8 5 C 3 2 住宅二 200000 500000
D 西 班 牙 意 大 利
(a)哪个矩阵乘积给出了为建造每中类型
住宅需要各种物品的数量？
把E转置后成为 E 再与C作矩阵乘积 ：
4 160 182 95 5 = 1835 3 则在方式Ⅰ下所需费用为1835；
T


同理在方式Ⅱ下所需费用为1765：
4 155 169 100 5 = 1765 3
(e)
2 3 6 5 0 .3 0 .7 = 3 4
160，作业B所需的总费用为182，作业C为95，在方式Ⅱ下作业A 所需的总费用为155，作业B所需的总费用为167，作业C所需的 总费用为100。
(c)所需的总机时为： (5+20+10) ×4+(4+25+8) ×5+(10+10+5) ×5=400; (d)在方式Ⅰ下：
5 20 10 2 160 × 4 25 8 = 182 =E 6 10 10 5 4 95
10 5
3 5
5500 11000
： 所求矩阵D和E能分别给出在每个商店购买水果的费用
和每个城镇每种水果的购买量。
这是一个矩阵的具体应用问题。其实很显然在没有矩阵的知识前， 我们也可以解出这一简单的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1和城镇2）；城镇1中有 人员A（1000）和人员B（500人），城镇2中有人员A（2000）和 人员B（1000）；人员A需苹果、橘子和梨分别5、10和3，而人员 B需苹果、橘子和梨分别4、5和5；现不妨假设每个城镇中都有两 个商店（商店A和商店B），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格 均不相同。商店A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤0.10、0.15 和0.10，而商店B中苹果、橘子和梨的价格分别为0.15、0.20、0.10。 现问: （a）每个商店每个人购买水果的费用是多少？（b）每个城 镇每种水果的购买量是多少？
10 6 3 2
4.00 2.00 0.65 6.00
6.00 1.00 0.85 5.00
5.00 0.85 1.00 7.00
问题解答3：
在MATLAB运算结果如下： C=A*B
C=

65.9500 78.5500 72.1000
其中A为行向量，B为矩阵。因此，第二个问题
的结果也就得到相应的解答：对于供货商A的 备餐价格为$65.9500，对于供货商B的备餐价 格为$ 78.5500，对于供货商C的备餐价格为$ 72.1000。