即 a1 , !, ap , 2 , 根据前 p + 1 个自相关函数r x ( 0) ,
rx ( 1) , !, r x ( p ) , 就可利用 Y ule Walker 方 程求出
模型参数, 从而估计出信号 x ( n) 的功率谱。
2 B urg 算法
Burg 算法是建立在数据基础上的模型 参数求 解的有效算法, 其计算递推公式如下:
3. 3 用 P isar enro 谐波分解法估计数据正弦频率
Pisarenro 谐波分解法主要用于混有白噪 声的 正弦信号频率估计及功率谱估计。通过相关阵的特 征分解, 基于噪声子空间进行频率估计及功率谱估 计。信号功率谱图及频率估计如图 3 及表 1 所示。
函数中对自相关函数的估计比较准确。
表 1 信号频率实际及估计值
摘要: 为了克服经典的功率谱估计方法存在的方差大、分辨率低 的缺点, 产生了现 代谱估计 法。首先介绍 了现代 谱
估计法中的几种模型参数估计法, 通过仿 真比较了 其性能, 并对 模型阶 次的选 择作了 分析, 对实际 的工程 应用有 一
定的参考价值。
关键词: 自相关法; Burg 法; Pisar enr o 谐波分解法
参考文献
图 3 Pisar enr o 谐波分解 法信号功率谱估计图
由图 3 及表 1 可以看出: P isarenr o 谐波分解法 对正弦信号频率的估计较精确, 这主要是由于 Peig
[ 1] H ayes M H. Statistical Dig ital Signal Pro cessing and M odeling [ M ] . N ew Y ork: John W iley & So ns,
频率 真实值 估计值
f 1∀
0. 1
0. 099 9
f 2∀
0. 25 0. 249 0
f 3∀
0. 26 0. 260 0
4 结束语
参数模型法是现代谱估计的主要内容, 在对模 型的参数估计中, 不仅不同的参数估计方法对功率 谱估计的精度有所不同, 而且谱估计的质量受模型 阶次的影响, 阶次过低, 谱太平滑, 反映不出谱峰; 阶 次过大, 容易产生虚假峰值。阶次的选择需要在实 际中对所得结果作多次比较后, 予以确定。1 自相关法来自对于 AR 模型, 有:
p
x ( n) = - akx ( n- k) + u( n)
( 1)
k= 1
式中: u( n) 、x ( n) 为实平稳的随机信号; u( n) 为白噪
声; 2 为方差。
经过推导, 可得:
收稿日期: 2008- 05- 13
第 1期
支冬栋等: 现代谱估计法中几种不同模型参数估计法的比较
101
p
- akr x ( m - k) , m 1
rx ( m) =
k= 1 p
( 2)
- akr x ( k ) + 2 , m = 0
k= 1
式中: rx ( m) 为 x ( n) 的自相关函数。
上式是 AR 模型 的正则方 程( Yule Walker 方
程) 。因此, 一个 p 阶 AR 模型共有 p + 1 个参数,
Inc. , 1996. [ 2] 胡 广 书. 数 字 信 号 处 理 [ M ] . 北 京: 清 华 大 学 出 版
社, 2003. [ 3] 徐立军, 张锐, 杨红兵. A RM A 谱估计 简介及 方法[ J] .
重庆科技学院学报, 2005( 2) : 78- 80.
式中: k m = N - 1
n= m
N- 1
, m=
|
e
f m-
1
(
n)
|
2+
| ebm- 1 ( n- 1) | 2
n= m
n= m
1 , 2, !, p , km 中的 初 始条 件 为e0 f ( n) = x ( n ) , e0 b( n) = x ( n) 。
由此可通过迭代求得模型参数, 从而估算出信 号的功率谱。需要特别说明的是, 上述迭代过程是 建立在数据驱动基础上的, 避开了先估计自相关函 数的步骤。
0引言
功率谱在随机信号分析与变换中起着类似于频 谱在确定性信号分析中的作用。经典功率谱估计方 法由于无法实现功率谱密度原始定义中的求均值和 求极限的运算, 对周期图法假定了数据窗以外的数 据全为零, 对自相关法假定了在延迟窗以外的自相 关函数全为零, 这使得传统功率谱估计方法存在方 差性能较差、分辨率较低等缺点。为了克服传统谱 估计方法的这些缺陷, 一些专家学者提出了现代谱 估计方法。其中, 参数模型法由于将信号看成是一 随机输入序列通过一线性系统的输出, 通过建立模 型来估计信号的功率谱, 不仅数学表达式简单明了, 而且有明显的物理意义, 已经成为现代谱估计的重 要方法, 在实际应用中获得了广泛的应用。
rx ( m) =
^am( k ) = ^am- 1 ( k) + ^km^a m- 1 ( m - k ) ,
k = 1, 2, !, m - 1
( 3)
^am( k ) = ^k m
^ m = ( 1 - | ^km | )^ m- 1
( 4)
N- 1
-2
e
f m-
1(
n)
e
b* m-
1(
n-
1)
自回归( AR) 模型、移动平均( M A) 模型和自回 归/ 移动平均( A RM A) 模型是功率谱估计中最主要
的参数模型, 其中 AR 模型由线性方程描述, 而 M A 和 ARMA 模型则由非线性方程描述。由于 MA 和 ARMA 模型均可用高阶的 AR 模型来近似, 因此这 里主要分析讨 论 AR 模 型参数不同估 计方法的性 能。对于 AR 模型参数的估 计, 有 自相关法、Burg 法等, 本文以被白噪声污染了的 3 个正弦信号为例, 分析了不同方法对模型参数估计精度的影响, 并与 对正弦信号频率有良好估计能力的 Pisar enro 谐波 分解法进行了比较。
( 1. Nav y L og istic Department, Beijing 100841, China; 2. N avy Eng ineering U niversit y, W uhan 430033, China)
Abstract: T he modern spect rum est im at ion m et hod is dev elo ped t o overcome t he short comings of t he classical spect rum est imatio n met hod such as larg e variance and lo w resolution. T his paper first ly int roduces several mo del param et er est imat io n m et hods in moder n spect rum estimat ion, t hen com pares t he perf orm ances of t he models thro ug h simulat ion, and analyzes t he select ion of t heir ex ponent number, w hich has def init e ref erence v alue t o t he pract ical engineering applicatio n. Key words: aut ocorrelation method; Burg m et hod; Pisarenro harmo nic decomposit ion m et hod
3. 1 用自相关法求解模型系数, 并估计信号功率谱 由于模型参数估计中, 模型阶数的选择也会对
模型参数的求解精度产生影响, 因此在仿真中也充 分考虑了这一点, 分析比较了不同阶次对参数估计 的影响。图 1 为模型阶数 p = 8, 11, 14, 24 时信号的 频谱估计图。
图 1 不同阶数时自相关法 信号功率谱估计图
2009 年 2 月 第 32 卷第 1 期
舰船 电 子 对抗
SH IPBO ARD EL ECT RO NI C CO U NT ERM EA SU R E
Feb. 2009
V ol. 32 N o. 1
现代谱估计法中几种不同模型参数估计法的比较
支冬栋1 , 卫红凯2 , 杜 斌1
( 1. 海军后勤部, 北京 100841; 2. 海军工程大学, 武汉 430033)
时, 能识别出相邻的峰值信号, 但可能产生谱分裂现 象( 如 p = 24 时在 0. 1 附近) 。 3. 2 B ur g 法求解模型系数, 估计信号功率谱
同样在仿真中, 也比较不 同阶次下对 Burg 法 参数估计精度的影响, 并将估计结果与自相关法的
10 2
舰船 电子 对 抗
估计结果进行比较。图 2 为模型阶数 p = 8, 11, 14, 20 时信号的频谱估计图。
中图分类号: T N911. 7
文献标识码: A
文章编号: CN 32 1413( 2009) 01 0100 03
Comparison of Several Different Model Parameter Methods in
Modern Spectrum Estimation
ZH I Dong dong1 , WEI H ong kai2 , DU Bin1
第 32 卷
图 2 不同阶 数时 Burg 法信号功率谱估计图
对以上功率谱图进行分析: Burg 法比自相关法 对功率谱的估计效果要好很多, 能够识别小信噪比 的信号( f 1 = 0. 1) , 对于相邻峰值的 2 个信号( f 2 = 0. 25, f 3= 0. 26) 也可以识别, 但可能产生频率漂移 现象( 如阶数 p = 8 时在 f 1 = 0. 1 处) 。随着模型阶 次的增加, 信号的分辨 率增大, 但会产生虚假 峰值 ( 如阶数 p = 20 时尤为明显) 。