rx (0) rx (1)
rx (0) rx (P)
rx* (1) rx (0)
rx (P 1)
r
* x
(
P)
r*x (P 1)
rx (0)
Digital Signal Processing
AR模型功率谱估计过程
Digital Signal Processing
Y-W方程的Levesion-Durbin 算法
Digital Signal Processing
第八章 参数模型功率谱估计
经典功率谱估计的局限性
✓基于DFT的频谱分析等效对取样数据进行周期拓展，不符 合随机信号的统计特性
✓取样数据长度N较短时，频域分辨率较低
✓经典功率谱估计方差特性较差，且不是一致估计
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参数模型法
✓观测数据序列 xN (n), n 0,1,..., N 1 当作模型输出
✓设定误差准则，使模型的输出逼近实际观测数据，并由此估 计模型参数 ✓根据模型参数外推观测序列这外的数据 ✓根据模型参数估计功率谱
没有直接针对估计参数——功率 谱进行逼近，没有从统计意义上 对功率谱估计建模
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P
P
e(n) x(n) xˆ(n) x(n) ak x(n k) He (z) 1 ak zk A(z)
k 1
k 1
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✓P阶后向线性预测 x(n), x(n 1),..., x(n P 1)
8．1ARMA模型
ARMA模型
2 u
Q
H (z)
B(z) A( z )
br z r
r 1
P
1 ak zk
k 1
P
Q
x(n) ak x(n k) bru(n r)
k 1
r0
x(n), n ~
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ARMA模型功率谱估计
✓前提：已估计出模型参数
Levesion-Durbin算法是一种递推算法
✓P=1 Yule-Walker方程
rx
(0)
rx (1)
r* rx
x (1) (0)
1 a1,1
1
0
a1,1 rx (1) / rx (0)
1
2 u
rx (0) 1
a1,1
2
✓设p-1阶AR模型参数 p1, ap1,k , k 1, 2,..., p 1 推导p阶模型参数
P
rx (m) ak rx (k)] 0, m 0,1,..., P k 1
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✓P阶前向线性预测和AR模型的关系
▪Yule-Walker方程和Wiener-Hopf方程完全等效
▪AR模型白噪声输入方差
2 u
和最优前向线性预测的最
小均方误差 min 等效
rx (0) aP 0
R
a
OuP2
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✓自相关矩阵R的特性
▪当随机序列是实数时，R是一个Toeplitz矩阵
rx (0)
R
rx (1)
rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
rx (P) rx (0)
rx (P
1)
rx (1)
rx (0) rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
▪当随机序列是复数时，R是一个Hermitian矩阵
rx (P)
rx
(P
1)
rx (0)
rx (0)
R
rx (1)
rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
rx (P) rx (P 1)
▪ H (z)是具有因果性的最小相位系统
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ARMA模型的进一步分类
P
✓自回归（AR）模型 x(n) ak x(n k) u(n) k 1 Q
✓滑动平均（MA）模型 x(n) bru(n r) r0
✓模型参数求解 ▪AR模型参数的求解只需求解线性方程组
8．3基于线性预测理论的AR模型参数计算
线性预测
✓P阶前向线性预测
x(n 1), x(n 2),..., x(n P)
前P个采集数据估计n时刻的值
P
xˆ(n) ak x(n k)
k 1
e(n) x(n) xˆ(n)
min
E
e(n)
2
▪前向预测Wiener-Hopf方程
P
rx (0) ak rx (k)] min k 1
rx
(m)
E
x(n)x(n
m)
E
x(n)[u(n
m)
P
ak
x(n
m
k
)]
k 1
P
rxu (m) akrx (k)], m 0,1,..., P k 1
rx (0)
rx (1)
rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
rx (P) rx (P 1)
1 a1
2 u
0
ARMA模型功率谱的多重性
✓共轭零点
( zr , zr* )
共轭极点 ( 1 , 1 ) zr zr*
构成的功率谱形状相同
✓ARMA型功率谱不能区分最小相位系统和最大相位系统，区分
因果系统和非因果系统
✓定义平稳高斯分布 ARMA(P,Q) 的过程
▪ x(n)是零均值高斯分布的白噪声经过线性非移变系统的输出
ap,p kp
ap,k
ap1,k
k
* p
a p 1, k
,
k
1, 2,..., p
p
p 1 (1
kp
2)Biblioteka Digital Signal Processing
Matlab函数[px,w]=pyulear(x,p,[nfft],’range’)
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P,Q, ak (k 1 ~ P),br (r 0 ~ Q)
Sx (e j ) Sx (e j ) H (e j ) 2
2 u
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
ze j
2 u
B(e j )B(e A(e j ) A(e
j ) j )
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▪MA和ARMA模型参数的求解需要求解非线性方程组
✓不同模型之间关系
一个有限阶次的MA模型，或一个有限阶次的ARMA模型 可以用一个阶次足够大的AR模型逼近
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8．2AR模型的Y-W方程及功率谱估计
ARMA模型的Yule-Walker方程
P
x(n) ak x(n k) u(n) k 1