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第五章
5.2.2 例题 例1
i1 L1 L2 i2
5.2 状态方程的列写
+ eS
R1
C
+
uC
R2

(1) 选取常态树和状态变量（uC， i1，i2） (2) 对每一个由电容树支决定的基本割集，写出KCL方程 duc duc 1 1 = C i1 C i2 C = i1 i2 dt dt (3) 对每一个由电感连支决定的基本电路，写出KVL方程
1）对任一时间t1，由t1时的这组数据X(t1)和从t1开始 的输入，能唯一确定任一t>t1时的数据X(t)；
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5.1 一些有关的概念
系统中一组变量的数据
X(t)=[x1(t) x2(t) ··· n(t)]T x
1）对任一时间t1，由t1时的这组数据X(t1)和从t1开始 的输入，能唯一确定任一t>t1时的数据X(t)；
(s)=(S1A)1
UC(s)
=
(S+1)(S+3)
S
12 S 12 1 (S+1)(S+3) = S+17/4 1 (S+1)(S+3)
5.3.1 解析解法 时域的解法 解析解法 复频域解法
5.3 状态方程的求解
幂级数法 矩阵函数的有限项表示法 对角线化变换矩阵法
X=AX+BF
令 则 (S)=(S1A) 1
•
£
(S1A)X(s)=X(0)+BF(s) 状态方程的预解矩阵
X(S)= (s)X(0)+ (s)BF(s) det(S1A) 矩阵A的特征多项式
R1
+

u1
i

L
+ C1 u2 +
C2
R2
gmu1
iC2 0 i u1 u2 +
1 L1
i
d dt
u1
R1 L 1 = C1
1 L1
u2
0
gm 1 1 C1 R2C1 R2C1 g 1 + m 1 R2 C 2 C2 R2 C2
0 eS 0
讨论： 若受控电流源为ic2，且 =1，
5.2 状态方程的列写
对LTI网络，选择电容电压和电感电流作为状态 变量，因此各个标量方程的左边 duc dt diL dt duc C dt = ic diL L dt = uL
建立包含电容支路的KCL方程
建立包含电感支路的KVL方程
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5.2.1 状态方程的分析
duc dt diL dt • duc C dt = ic diL L dt = uL
(1)仅由电容元件构成的回路(全电容电路)；
(2)仅由电感元件构成的割集(全电感割集)；
(3)仅由电压源与电容构成的回路； (4)仅由电流源和电感元件构成的割集；
状态变量的数目 = 动态元件的数目 常态树的概念 树包含所有电容支路，而不含任何电感支路。
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5.2.1 状态方程的分析
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duc 1 1 = C i1 C i2 dt
5.2 状态方程的列写
(3) 对每一个由电感连支决定的基本电路，写出KVL方程 例1
i1 L1 L2
i2
+
eS
R1
C
+
uC
R2

现代电路与系统
di1 =uc R1 i1 e S dt di L2 1 =uc R2 i2 dt L1
5.2 状态方程的列写
建立包含电容支路的KCL方程 建立包含电感支路的KVL方程
只有将KCL应用于割集才能最大限度得到满足，只要使 所选取的每个割集仅含一个电容支路（单电容割集）； 从方程的右边考虑，所选取的每个割集应尽可能多地 包含电感元件的支路。
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• 所选取的每个回路只含一条电感元件的支路（单电感 回路）；另外回路应尽可能多地包含电容支路。 基本割集 单电容割集 树（常态树） 单电感回路 基本回路
5.2 状态方程的列写
i2
L2 R2
+ u1
R1 C1 C2
+ u5
+ u2
R5
+ u4 R 4
(1) 选取常态树和状态变量 du2 i1 i2 (2) du1 = i1 C1 dt dt = C2 + C2 di1 1 = L (u4u5u2u1R1 i1) dt 1 di2 1 = L (u4u5u2R2 i2) 现代电路与系统 dt 2
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5.1.3 状态方程与输出方程 例
iL 3 4H
5.1 一些有关的概念
+
uC

1 12 F
uC 1 duC 12 dt = 3 iL diL 4 dt = uC
4 12 uC d uC = 1 dt iL 0 iL 4
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5.1.3 状态方程与输出方程
5.1 一些有关的概念
iL
3 4H
+
uC
= iL(t) iL

uc
1 0
t
1
0
t
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例
5.1 一些有关的概念
如图，uC(0)=1V,iL(0)=1A求零输入响应的状态轨迹。 uc uc t=0 1 1 t= t 0 0 1 iL
1
2
iL 3 4H
+
uC
0
1 12 F
iL

13 t 15 3t 2 e + 2 e = 13 t 5 3t iL(t) 8 e - 8 e 现代电路与系统
uC(t)
t
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5.1 一些有关的概念
5.1.3 状态方程与输出方程 概念：联系输入与状态变量的一阶微分方程组 •
X=AX+BF
方程的特点：
• 左边为状态变量的一阶导数，且每 个标量方程只含一个一阶导数项
• 右边为状态变量与输入的线性组合， 除输入外不含任何非状态变量
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5.2 状态方程的列写
(3)消去除输入外的非状态变量
消去除输入外的非状态变量，就是用 状态变量和输入去表示那些非状态变量。
u5=R5(i1+i2) 将电容元件用电压源代替，电感元 件用电流源代替
R4 RR u4= R +R es R 3 4 ( i1+i2) 3 4 3+R4
+ eS
(R1+R2)L2MR2
d 1 = dt i2 L1L2M2 (R1+R2)M +L1R2 讨论：
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R2L2+(R2+R3)M
i1 +
L2 M
(R2+R3)L1MR2 i2
uS
若
则
L1L2 M2=0
（全耦合）
det L=0，L1不存在，i1、i2线性相关。
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uC iL
4 = 1 4 (S+4)
12 0 12 S
uC iL
(S1A)=
现代电路与系统
- 1
4
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第五章
iL
5.3 状态方程的求解
+
uC
3 4H

1 12 F
uc(0) 1 = iL(0) 1
det(S1A)=S(S+4)+3=(S+1)(S+3)
S 12 (S+4) 1 4
特征多项式的零点
2）t时刻的这组数据连同t时刻的输入(有时可能为输入 的某个导数)能唯一确定系统中任一变量在t时刻的值。
电网络中的状态变量：一组独立的电容电压uC(或电荷) 和独立的电感电流iL(或磁链)
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5.1.2 状态空间与状态轨迹 x1(t) X(t)= x2(t)
5.1 一些有关的概念
零状态响应
转移函数矩阵
Y(t)= £1 [C(s)X(0)]+ £1 [H(s)F(s)]
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5.3.1 解析法解法 复频域解法
5.3 状态方程的求解
例1 对图示电路,列出状态方程,并求解。
iL 3 4H
+
uC

1 12 F
uc(0) 1 = iL(0) 1
d dt
i2
1 a33= L (R1+R5+ R3R4 ) R3+R4 1 1 a34= L (R5+ R3R4 ) R3+R4 1
1 a43= L (R5+ R3R4 ) R3+R4 2
1 a44= L (R2+R5+ R3R4 ) R3+R4 2
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第五章
例3
uS
5.2 状态方程的列写
i1+ i2
R3 i3
+
u4
R4

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第五章
u1 d dt u2 i1 0 0 = 1 0
L1