Er
1 n
n
ri
i 1
• 几何平均收益
n
1
Er ( (1 ri )) n 1
i 1
5-21
几何平均收益
TVn (1 r1)(1 r2 )...(1 rn )
TV = 终值
g TV 1/ n 1
g= 收益率的几何平均值
5-22
方差和标准差公式
• 方差 = 离差平方的期望值
^
2
1 n
n s1
收益的方差或离散
2
ps
rsEr 2
s
前例：
Var =[(.1)(-.05-.15)2+(.2)(.05- .15)2...+ .1(.35-.15)2] Var= .01199 S.D.= [ .01199] 1/2 = .1095
历史收益率的时间序列分析
• 期望收益：从历史样本中计算 • 算术平均收益率
5-33
下偏标准差 (LPSD)与索提诺比率
• 问题:
– 需要独立的考察收益率为负的结果 – 需要考察收益对无风险利率的偏离
• 下偏标准差: 类似于普通标准差，但只使 用相对于无风险收益率rf负偏的那些收益 率。
• 索提诺比率是夏普比率的变形。
5-34
风险组合的历史收益
• 收益呈现正态分布
• 在最近的半个周期收益很低 (1968-2009)
2020/4/4
西南财经大学金融学院
2
第一节 从历史数据中学习收益与风险
➢利率水平的决定因素 ➢不同持有期收益率的计算 ➢风险与风险溢价 ➢历史收益率数据的时间序列分析
利率水平的决定因素
• 供给 – 家庭部门
• 需求 – 企业
• 政府的净供给或净需求
5-5
实际利率和名义利率
• 名义利率: 资金量增 长率
5-28
偏度和峰度
偏度 公式 5.19
峰度 • 公式 5.20
R
_
R
3
偏度
^
3
的平均值
R
_
R
4
峰度
^
4
的平均值 3
5-29
图5.5A 正态和偏度分布
5-30
图5.5B 正态和肥尾分布 (均值= .1, 标准差 =.2)
5-31
在险价值 (VaR)
• 度量一定概率下发生极端负收益所造成 的损失。
第四章 投资组合理论与实践
从历史数据中学习收益与风险 风险与风险厌恶 优化风险投资组合：组合投资理论、
教材5-7章
2020/4/4
西南财经大学金融学院
1
学习目标
学会测度单一资产及资产组合的收益 与风险，并理解风险-收益权衡、 “没 有免费午餐”的理念。
掌握组合可以降低风险的基本原理和 推导，理解投资者效用函数的构成， 在此基础上认识投资者如何构造最优 投资组合。
r = (R - i) / (1 + i) 2.83% = (9%-6%) / (1.06) 实证关系： 通胀率与利率水平同步变动
5-7
税收与实际利率
• 税赋是基于名义收入的支出 – 假设税率为 (t) ，名义利率为 (R), 则税 后名义利率是:
R(1 t) i (r i)(1 t) i r(1 t) it
r s
_
r
2
5-23
方差和标准差公式
• 当消除偏差时，方差和标准差的计算公式为:
^
1 n 1
n j 1
r s
_
r
2
5-24
收益波动性（夏普）比率
• 投资组合的夏普比率:
风险溢价 超额收益率的标准差
5-25
正态分布
• 如果收益率的分布可以用正态分布来近似 拟合的话，投资管理将变得更加容易。
• 税后实际利率随着通货膨胀率的上升而下 降。
持有期收益率: 单期
HPR P1 P0 D1 P0
HPR ：持有期收益 P0 ：期初价格 P1 ：期末价格 D1 ：期间股利
单期持有期收益：例子
期末价格 =
48
期初价格 =
40
股利 =
2
HPR = (48 - 40 + 2 )/ (40) = 25%
• 有效年利率的定义: 一年期投资价值增长百 分比
1
EAR
1
rf
T
1 T
5-14
公式 5.8 年化百分比利率
• 年化百分比利率: 年度化的简单利率
1 EAR T 1
APR T
5-15
表 5.1 有效年利率与年化百分比利率2) 方差或标准差 3) 偏度 4）峰度
– 当风险收益对称时，标准差是一个很好的衡量 标准。
– 如果各个资产的收益具有正态分布，那么其组 成的投资组合的收益也服从正态分布。
– 可以仅使用均值和标准差来估计未来的情境。
5-26
图5.4 正态分布
5-27
偏离正态分布和风险度量
• 如果超额收益偏离了正态分布怎么办?
– 标准差不再是一个衡量风险的完美度量工具 – 夏普比率不再是证券表现的完美度量工具 – 需要考虑偏度和峰度
收益率计算：不同持有期
• 实际（有效）年利率：EAR
– 复利
• 年度百分率：APR
– 单利
• 连续复利率
5-11
比较不同持有期的收益率
零息债券, 面值 = $100, T=持有期, P=价格, rf(T)=无风险收益率
rf
(T )
100 P(T )
1
5-12
例 5.2 年化收益率
5-13
公式 5.7 有效年利率
• 在险价值是一个概率分布小于q%的分位 数。
– 从业者通常估计 5% 的在险价值 , 它表示 当收益率从高到低排列时，有95%的收益率 都将大于该值。
5-32
预期尾部损失 (ES)
• 也叫做条件尾部期望 (CTE) • 对下行风险的衡量比在险价值更加保守
– 在险价值是最差情形下的最好收益率 – 预期尾部损失是最差情形下的平均收益率
• 实际利率: 购买力增 长率
• 设名义利率为R, 实 际利率为r， 通货膨 胀率为i，那么：
r Ri
r Ri 1 i
实际利率与名义利率
费雪效应：近似 名义利率 = 实际利率 + 通胀率
R = r + i or r = R - i 例子： r = 3%, i = 6%
R = 9% = 3% + 6% or 3% = 9% - 6% 费雪效应：精确
* 正态分布：一、二阶矩
期望收益
s
E(r) ps rs
1
p(s) ：状态的概率 r(s) ：各状态下的收益 1-s种状态
期望收益：例子
State .1 2 3 4 5
Prob. of State -.05 .2 .4 .2 .1
r in State
.05 .15 .25 .35
E(r) = (.1)(-.05) + (.2)(.05)...+ (.1)(.35) E(r) = .15