关于切线的几个认识误区
误区一：曲线上某一点处附近的曲线一定在该点处切线的同一侧．
错因分析：学生比较熟悉圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的切线，这些曲线在某一点处附近的曲线确实都在该点处切线的同一侧，学生往往通过类比，认为误区一的结论是正确的，这种先入为主的错误认识影响了对切线概念的正确理解．
解析：由曲线在某一点处的切线的定义可知，曲线在某一点处的切线是通过该点的割线的极限位置，切线既可以位于切点处曲线的一侧，也可以穿过切点处的曲线．
例1：函数3
()f x x =，导函数 2()3f x x '=，
(0)0f '=，在点（0，0）处的切线为00(0)y x -=⨯-，
即0y =.
误区二：函数在某一点处的导数不存在，则在该点处的切线不存在．
错因分析：学生一般是通过求导来求曲线在某一点处的切线的斜率．在某一点处导数存在，说明在该点处切线存在，学生容易类比出在某一点处的导数不存在就判定在该点处的切线不存在．
解析：曲线在某一点处的导数不存在，既可能是曲线在该点处的左右割线的极限不同，也可能是在该点处的切线与Y 轴平行或重合．前者导致切线不存在，而后者是可以存在切线的. 例2：函数13()f x x =，导函数 233211
()33f x x x -'==，
(0)f '不存在，但在点（0，0）处的切线为0x =.
（与例1是互为反函数）
例3：函数()f x x =，导函数
1,0()1,0
x f x x >⎧'=⎨-<⎩，
(0)f '不存在，在点（0，0）处的切线也不存在.
误区三：经过曲线上的一点作曲线的切线只有一条．
错因分析：同误区一．
解析：经过曲线上的一点作曲线的切线时，该点可能是切点，也可能不是切点．
例4：函数3()3f x x x =-，导函数2()33f x x '=-，令2()330f x x '=-=，解得1x =±，
极值点为（－1，2）和（1，2）.(据此可画函数的草图)
现在求过点（2，2）的切线：
一方面，以（2，2）为切点：2(2)3239f '=⨯-=，切线为
29(2)y x -=-；
另一方面，以（－1，2）为切点的切线为2(1)(1)
y f x '-=-⨯+ 即2y =，此切线也过点（2，2）.。