SARIMA 模型：
p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
序列 (dsDyt) 具有平稳性的条件是 p(L)P(Ls) = 0 的根必须在单位圆以外。序列 (dsDyt) 具有可逆性的条件是q(L)Q(Ls) = 0 的根都必须在单位圆以外。 例：对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型 (1-1 L)(1-1 L12)12yt= (1+1 L)(1+1 L12) ut
1.9 季节时间序列模型 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包括 季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序列。 经济领域中，季节性时间序列更是常见。如季度时间序列、月度时间序列、周度时间 序列等。这里主要研究的是季度和月度时间序列。 中国季度 GDP 序列（yt，亿元人民币，1992:1~2009:1）见图。序列明显存在以 4 个季度为周期的变化。在每年的第 4 季度，由于受接近年终的影响，GDP 额比其他季 度要增加很多。 描述这类序列的模型称作季节时间序列模型(seasonal ARIMAmodel)， 用 SARIMA 表示。季节时间序列模型也称作乘积季节模型（multiplicative seasonal model） 。因为 模型的最终形式是用因子相乘的形式表示。
下标 p, P, q, Q,分别表示非季节，季节，自回归，移动平均算子的最大滞后阶数。上述 模型用 SARIMA (p, d, q) (P, D, Q)s 表示。对于季度序列， s=4；对于月度序列， s=12。 ● 因为p(L)和P(Ls)，q(L)和Q(Ls)分别是相乘关系，所以此季节时间序列模型也称 作乘积季节模型（模型两侧的最终形式都是相乘关系） 。
周 - …-pLp)(1-1Ls - …-PLPs )(dsDyt) = (1+1L+…+qLq)(1+1 Ls- …-Q LQs )ut 或
p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
s =1-Ls
若季节性时间序列用 yt 表示，则一次季节差分表示为
syt = (1-Ls)yt = yt - yt- s
对于非平稳季节性时间序列，进行有限次的季节差分和非季节差分，总可以转换成一 个平稳的序列。若原序列长度用 T 表示，经过一次季节差分和一次非季节差分，序列 将丢失 s+1 个观测值，序列长度变为 T- s-1。
p(L) = (1- 1L - 2 L2 - …- p Lp) P(Ls) = (1-1 Ls-2 L2s - …-PLPs ) q(L) = (1 + 1L + 2L2+ … +qLq) Q(Ls) = (1+ 1 Ls-2 L2s - …- Q LQs )
（注意： i 前的符号用负号表示） （注意： i 前的符号用负号表示） （注意： i 前的符号用正号表示） （注意： i 前的符号用正号表示）
80,000
GDP
70,000 60,000 50,000 40,000 30,000 20,000 10,000 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
1.9.1 季节时间序列模型定义 季节性序列的变化周期用 s 表示。对于月度序列，s=12；对于季度序列，s=4。首 先用季节差分（seasonal deference）的方法消除周期性变化。季节差分算子定义为，
其中， s 分别表示非季节和 s 期季节性差分。 d, D 分别表示非季节和季节性差分次数， 用以保证把 yt 转换为一个平稳的时间序列。 ut~IID(0,2) 是白噪声。 p(L)和P(Ls)分别 称作非季节与季节自回归算子或自回归特征多项式。 q(L)和Q(Ls)分别称作非季节与 季节移动平均算子或移动平均特征多项式。表示如下，
12Lnyt= (1+1 L)(1+1 L12) ut
● 这种模型也称作航线模型（air line model） ，首次被 Box 采用。 例：(1-1.20L+0.66 L2)(1-0.33L4) 4 yt = (1-1.16L+ 0.97 L2)(1-0.95L4)vt
熟悉 SARIMA 模型表达式的写法。 例：对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型，表达式是， (1-1 L)(1-1 L12)12yt= (1+1 L)(1+1 L12) ut 例：对于 SARIMA (2, 1, 0) (1, 1, 1)4 模型，表达式是， (1-1 L-2 L2)(1-1 L4 )4 yt = (1+1 L4) ut ●： 1、 2、 1 前的符号用负号表示； 1 前的符号用正号表示。 例：(0, 1, 1) (0, 1, 1)12 阶 SARIMA 模型是月度模型，表达式为，
12yt 具有平稳性的条件是(1-1 L)(1-1 L12)= 0 的根在单位圆外。12yt 具有可逆性的 条件是(1+1 L)(1+1 L12) = 0 的根在单位圆外。
对于季节时间序列模型来说，自回归部分的最高滞后阶数是 p+Ps。移动平均部分 的最高滞后阶数是 q + Qs。但并不是每一个滞后期都有对应的滞后项在模型中存在。 自回归特征多项式仅由 p+P 个自回归系数决定；移动平均特征多项式仅由 q + Q 个移 动平均系数决定。对于月度序列，s =12，p+P+q + Q 将远远小于 p+Ps+q + Qs。因此会 得到一个非常简洁的模型。 （以上模型为例，p+P+q+Q = 4，而 p+Ps+q+Qs = 26。 ） ● 在实际建模过程中，d, D, p, P, q, Q 的值都不会很大。 ● 在实际研究中，通常是先对经济序列取对数，以消除可能存在的异方差。非季节和 季节性差分次数 d 和 D 通常取 0 和 1 即可满足要求。