8
VAR(1) 模型
X t 0 X t1 t ,
其中0是一个k维向量，是一个k k的矩阵，
是一个序
t
列不
相关的随机
向量序列，其均
值为0，
协方差阵为。
实际应用中，要求是正定的。
文献
中，通常假定
正
t
态。
二元情形：（k 2） X t ( X1t , X 2t ) VAR(1)包含以下两个方程：
21
协整的概念
• 假定自变量序列为 {x1}, ,{xk } ，响应变量 序列为{yt } ，如果 {x1}, ,{xk } 与{yt } 是同阶 单整的。则可以构造回归模型
k
yt 0 i xit t i 1
其中，回归残差序列 t 平稳，我们称响
应序列{yt } 与自变量序列 {x1}, ,{xk } 之间具 有协整关系。
Vt ,Ut ~ CI (2,1) Wt , Pt ~ CI (1,1)
32
• （d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系， 它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有 各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d） 阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的 比例关系。
• 例如，中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，如果 它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳 定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立 如下居民人均消费函数模型是合理的。
假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述
Yt 0 1X t t
该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之 确定为0+1X。
15
• 在t-1期末，存在下述三种情形之一：
– Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ； – Y小于它的均衡值：Yt-1< 0+1Xt ； – Y大于它的均衡值：Yt-1> 0+1Xt ；
1741 7.46221
1834 7.51425
25
例 时序图
26
对数序列时序图
27
构造回归模型
• 模型选择
– 一元线性模型
• 估计方法
– 最小二乘估计
• 模型拟合
ln yt 0.96832 ln xt t
28
残差序列单位根检验
我们可以以91.55%（1－0.0845）的把握断定残
差序列平稳且具有一阶自相关性 t 1 t 1 t .
29
最终拟合模型
ln yt 0.9682 ln xt t
(1 0.83714 B)t vt
i.i.d .
vt ~ N (0,0.000893 )
30
一般的
• 如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量 =(1,2,…,k)，使得Zt=XT ~ I(d-b)， 其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列 {X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)， 为协整向量（cointegrated vector）。
12
单整
单整的概念 如果序列平稳，说明序列不存在单位根，这时称序列
为零阶单整序列，简记为 xt ~ I (0)
假如一个时间序列至少需要进行d 阶差分才能实现平稳， 说明原序列存在d个单位根，这时称原序列为d 阶单整
序列，简记为 xt ~ I (d ), d 1.
13
单整的性质
• 若 xt ~ I (0) 有
• 如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整 阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数 不相同，就不可能协整。
31
• 3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有 可能经过线性组合构成低阶单整变量。
Wt ~ I (1),Vt ~ I (2),Ut ~ I (2)
Pt aVt bUt ~ I (1) Qt cWt ePt ~ I (0)
zt axt ， byt ~ I (k), k 独m立ax{，d,c对} 任意 14
长期均衡 • 经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡
关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内 在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点， 则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状 态。
纯收入
xt
lnxt
708.6 6.56329
784 6.66441
921.6 6.82611
1221 7.10743
1577.7 7.36372
1926.1 7.56325
2090.1 7.64497
2162 7.67879
2210.3 7.70088
2253.4 7.7202
2366.4 7.76913
2,t
，而只
1
依赖与其过去值。
类似地考虑
的
21
意义。
10
VAR(p)模型
X t 0 1 X t1 p X t p t , p 0.
其中
0是一个
k维向量，
是一个
j
k
k的矩阵，
是一个序列不相关的随
t
机向量序列，其均值为
0，协方差阵为
。
11
• 其他还有VMA,VARMA等模型 • 具体见教材第8章。
CPCt 0 1GDPPC t t
• 尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典 的回归分析方法建立回归模型。
33
• 从这里，我们已经初步认识到：检验变量
之间的协整关系，是非常重要的。 而且，从变量之间是否具有协整关系出发选
择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性 质是优良的。
34
协整检验
2476 7.8144
生活消费支出
yt
lnyt
619.8 6.4294
659.8 6.49194
769.7 6.646
1016.8 6.92442
1310.4 7.17809
1572.1 7.36017
1617.2 7.38845
1590.3 7.37168
1577.4 7.36353
1670.1 7.42064
年份
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
纯收入
xt
lnxt
133.6 4.89485
160.7 5.07954
191.3 5.25384
223.4 5.40896
270.1 5.59879
309.8 5.73593
X1t 10 11 X1,t1 12 X 2,t1 1t X 2t 20 21 X1,t1 22 X 2,t1 2t
9
根据第一个方程，
12表示的是在X
1,t
存在
1
时，X
1t
对X
2,t
的线性依赖
1
。
即12为给定X
1,t
1时，X
2,t
1对X
的条件
1t
效应。
若12
0，
那么X
1t并不依赖于X
17
协整
• 协整检验
• 一、协整概念与定义
• 在经济运行中，虽然一组时间序列变量都是随机游走，但它们的某个 线性组合却可能是平稳的，在这种情况下，我们称这两个变量是平稳 的，既存在协整关系。
• 其基本思想是，如果两个(或两个以上)的时间序列变量是非平稳的， 但它们的某种线性组合却表现出平稳性，则这些变量之间存在长期稳 定关系，即协整关系。
，对任意非零实数a, b，
a bxt ~ I (0)
பைடு நூலகம்
xt ~ I (d )
•若
a bxt ，~ I对(d任) 意非零实数a, b，
有
xt ~ I (0) yt ~ I (0)
•若
zt axt b，yt ~ I (0)
意x非t ~零I (d实) 数yt a~ ,I (cb) ，有
独立，对任
•若
协整向量的个数称为 xt 的协整秩。显然，若 xt只包含两个变量，
则最多只有一个独立的协整向量。（注意可能的共线性） – （4）大多数协整的相关研究集中在每个变量只有一个单位根的情
况，其原因在于古典回归分析或时间序列分析是建立在变量是I (0) 的条件下，而极少数的经济变量是单整阶数大于1的变量。
35
第十一章 多元时间序列分析
1
本章结构
• VAR • 协整 • 误差修正模型
2
• 学习目的：研究序列之间的关系
3
多元时间序列
考虑时间序列：X t
x1t
x2t
也可以考虑更高维的数据，x1,x2, ,xT
目的： 1。找到序列之间的关系 2。得到更加准确的预测
4
多元时间序列
弱平稳：
E(
X
t
)
22
• 如果两个变量都是单整变量，只有当它们 的单整阶数相同时，才可能协整；如果它 们的单整阶数不相同，就不可能协整。
23
例
• 对1978年－2002年中国农村居民家庭人
均纯收入对数序列{lnxt}和生活消费支 出对数序列{lnyt}进行协整关系检验。
24
中国农村居民家庭人均纯收入和生活消费支出序列
E( X1t
E
(
X
2t
) )
Cov(
X
t
,
X
t l
)
Cov( X1,t Cov( X 2,t
, ,
X 1,t l X 1,t l
) )
都不随时间变化。
Cov( X1,t , Cov( X 2,t ,
X 2,tl X 2,tl