习题1-1(参考解答)
1. （1）姊妹关系
（2）()(),P S ⊆
（3） (),{1},1a b Z a b ∈−≠,.例如(2 ,6 )2,(3 ,6 )3,==但()2,31=.
2. 若b 不存在，则上述推理有误.例如{}{~~~~}S a b c R b c c b b b c c =,,,：,,,.
3. (1)自反性:,(),,n A M E GL R A EAE ∀∈∃∈=~A A ∴ 对称性:
1111,,~,,(),,,,().~.n n A B M A B P Q GL R A PBQ B P AQ P Q GL R B A −−−−∀∈∃∈==∈∴ 传递性:
12211221212,,~,~,,,,(),,,,n A BC M A B B C P Q P Q GL R A PBQ B P CQ A PP CQ Q ∀∈∃∈===1212,(),~.n PP Q Q GL R A C ∈∴
(2) 自反性:1,(),,~.n A M E GL R A E AE A A −∀∈∃∈=∴ 对称性:
()11,,~,(),,,(),~.T
T n n A B M ifA B T GL R A T BT B T BT T GL R B A −−∀∈∃∈=∴=∈∴
传递性: 121122,,,~,~,,(),,,T T n A B C M ifA B B C T T GL R A T BT B T CT ∀∈∃∈==
()12211221,T
T T A T T CT T TT CT T ∴==12(),~.n TT GL R A C ∈∴ (3) 自反性:()1,,,~.n n A GL E GL R A E AE A A −∀∈∃∈=∴ 对称性:
1,(),~,(),,n n A B GL R ifA B T GL R A T BT −∀∈∃∈= ()
1
1
111,(),~n B TAT T
AT T GL R B A −−−−−∴==∈∴.
传递性:
11121122,,(),~,~,,(),,,n n A B C GL R A B B C T T GL R A T BT B T CT −−∀∈∃∈== ()()1
1112212121,A T T CT T T T C T T −−−∴==21(),~.n T T GL R A C ∈∴ 4. 证明: (1) 反身性:,()(),~a A a a a a φφ∀∈=∴Q
(2)对称性: ,,~,()(),()(),.a b A ifa b a b b a b a φφφφ∈=∴==
(3) 传递性: ,,,~,~,()(),()(),()(),~.a b c a a b b c a b b c a c a c φφφφφφ∀∈==∴=∴
{}[]|()().a x A x a φφ=∈=
5. (1)()S P A ∀∈,则S =S
~S S ∴，~∴具有反身性
（2）设12,()S S P A ∈，若12~S S ，则12S S =，21S S ∴=
21~S S ，~∴具有对称性
（3）设123,,()S S S P A ∈若12~S S ,23~S S ，则12S S =，23S S =
13S S =，13~S S ，~∴具有传递性 ~∴是()P A 上的一个等价关系. []{}{}{}{}{}
()
,1,1,2,1,2,3,1,2,3,4~
P A φ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[]{}φφ=
{}{}{}{}{}{}11,2,3,4=⎡⎤⎣⎦
{}{}{}{}{}{}{}{}1,21,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4=⎡⎤⎣⎦ {}{}{}{}{}{}1,2,31,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4=⎡⎤⎣⎦ {}{}{}1,2,3,41,2,3,4=⎡⎤⎣⎦
6. 证明：（1）反身性: ,0,~.a Q a a Z a a ∀∈−=∈∴
(2) 对称性: 设,,a b Q ∈若~a b , 即,a b Z −∈则(),b a a b Z −=−−∈ ~b a ∴ (3) 传递性: 设,,,a b c Q ∈若~,~a b b c 即,a b Z b c Z −∈−∈那么
()(),a c a b b c Z −=−+−∈~a c ∴
∴~是Q 上的一个等价关系. 所有的等价类为: []{}|[0,1).~
Q
a a Q a =∈∈且
7. 证明: (1) 反身性: ~a C a a a a ∀∈=∴Q ，，
(2) 对称性: a b C ∀∈，，若~a b ,则由a b =,得~b a b a =∴，.
(3) 传递性: a b c C ∀∈，，，若~~a b b c ，，则a b b c a c ==∴=，，，即~.a c 所以~是一个等价关系. 商集为[]{}
{0}~
C
a a R +=∈U
8. 设集合(){},/,,0S a b a b Z b =∈≠,在集合S 中，规定关系“~”：()(),~,a b c d ad bc ⇔=
证明：~是一个等价关系.
证明: 自反性: (),a b S ∀∈,则ab ba =,所以()(),~,.a b a b 对称性: 若()(),,,a b S c d S ∈∈,且()(),~,a b c d 则ad bc =
所以cb da =,即()(),~,c d a b 传递性: 若()(),~,a b c d 且()(),~,c d e f
由()(),~,a b c d 有ad bc =,所以ad
c b
= 由()(),~,c d e f 有cf de =,所以ad
f de b
⋅= 所以adf bde =,
所以 af be =,即()(),~,a b e f . 所以~是一个等价关系
9. 设{},,,A a b c d =试写出集合A 的所有不同的等价关系.
解: {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,,,,2,,,,3,,,,4,,,,P a b c d P a b c d P a c b d P a d b c ====
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}5,,,,6,,,,7,,,,8,,,,P a b c d P a c d b P a b d c P b c d a ==== {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}9,,,,,10,,,11,,,,P a b c d P a c b d P a b c d === {}{}{}{}{}{}{}{}12,,,,13,,,,P c d a b P a b c d == {}{}{}{}{}{}{}{}{}14,,,,15,,,P a c b d P a b c d ==
10. 不用公式（1 .1），直接算出集合{}1,2,3,4A =的不同的分类数.
解: 1212211211135554254254331()((/)(/))(/)152C C C C P C C P C C C P ++++++=.。