2009年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z1﹣z2）i的实部为．2．（5分）已知向量和向量的夹角为300，，则向量和向量的数量积=．3．（5分）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为．4．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=．5．（5分）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为．6．（5分）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为S2=．7．（5分）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=．8．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为．10．（5分）已知，函数f（x）=log a x，若正实数m，n满足f（m）＞f （n），则m，n的大小关系为．11．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=．12．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）13．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．14．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．17．（14分）设a n是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7（1）求数列a n的通项公式及前n项和S n；（2）试求所有的正整数m，使得为数列a n中的项．18．（16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l1与l2，l1的斜率为2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．19．（16分）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m A元和m B 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．（1）求h甲和h乙关于m A、m B的表达式；当m A=m B时，求证：h甲=h乙；（2）设m A=m B，当m A、m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取m A、m B的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20．（16分）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．2009年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2009•江苏）若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z1﹣z2）i的实部为﹣20．【分析】把复数z1=4+29i，z2=6+9i，代入复数（z1﹣z2）i，化简，按多项式乘法法则，展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到实部．【解答】解：∵z1=4+29i，z2=6+9i，∴（z1﹣z2）i=（﹣2+20i）i=﹣20﹣2i，∴复数（z1﹣z2）i的实部为﹣20．故答案为：﹣202．（5分）（2009•江苏）已知向量和向量的夹角为300，，则向量和向量的数量积=3．【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可．【解答】解：由题意知：=2×=3，故答案为：3．3．（5分）（2009•江苏）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为（﹣1，11）．【分析】要求函数的单调减区间可先求出f′（x），并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣30x﹣33=3（x2﹣10x﹣11）=3（x+1）（x﹣11）＜0，解得﹣1＜x＜11，故减区间为（﹣1，11）．故答案为：（﹣1，11）4．（5分）（2009•江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=3．【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出ω．【解答】解：由图中可以看出：T=π，∴T=π=，∴ω=3．故答案为：35．（5分）（2009•江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为0.2．【分析】由题目中共有5根竹竿，我们先计算从中一次随机抽取2根竹竿的基本事件总数，及满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型计算公式，即可求出满足条件的概率．【解答】解：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数有2.5和2.8，2.6和2.9，共2个∴所求概率为0.2．故答案为：0.2．6．（5分）（2009•江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为S2=0.4．【分析】根据表中所给的两组数据，先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．【解答】解：由题意知甲班的投中次数是6，7，7，8，7，这组数据的平均数是7，甲班投中次数的方差是，乙班的投中次数是6，7，6，7，9，这组数据的平均数是7，这组数据的方差是∴两组数据的方差中较小的一个为0.4，故答案为：0.47．（5分）（2009•江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=22．【分析】根据流程图可知，计算出S，判定是否满足S≥10，不满足则循环，直到满足就跳出循环，最后求出W值即可．【解答】解：由流程图知，第一次循环：T=1，S=1；不满足S≥10第二次循环：T=3，S=32﹣1=8；不满足S≥10第三次循环：T=5，S=52﹣8=17，满足S≥10此时跳出循环，∴W=5+17=22．故答案为228．（5分）（2009•江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8故答案为：1：8．9．（5分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（﹣2，15）．【分析】先设切点P（x0，y0）（x0＜0），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x0处的导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．【解答】解：设P（x0，y0）（x0＜0），由题意知：y′|x=x0=3x02﹣10=2，∴x02=4．∴x0=﹣2，∴y0=15．∴P点的坐标为（﹣2，15）．故答案为：（﹣2，15）10．（5分）（2009•江苏）已知，函数f（x）=log a x，若正实数m，n满足f（m）＞f（n），则m，n的大小关系为m＜n．【分析】因为已知条件中对数函数的底数，即0＜a＜1，故函数f（x）=log a x在（0，+∞）上为减函数，根据函数的单调性，结合足f（m）＞f（n），不难判断出m，n的大小关系．【解答】解：∵∴0＜a＜1∴f（x）=log a x在（0，+∞）上为减函数若f（m）＞f（n）则m＜n故答案为：m＜n11．（5分）（2009•江苏）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=4．【分析】先化简集合A，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．【解答】解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}而B=（﹣∞，a），∵A⊆B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：412．（5分）（2009•江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【分析】从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可．【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．13．（5分）（2009•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为e=2﹣5．【分析】解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．【解答】解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N，易知直线A 1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，，（负值舍去），易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．14．（5分）（2009•江苏）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=﹣9．【分析】根据B n=A n+1可知A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．【解答】解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B n=A n+1 A n=B n﹣1则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中{A n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除=﹣=﹣=﹣=﹣很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项q=﹣或q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）∴q=﹣∴6q=﹣9故答案为：﹣9二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2009•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．（2）先根据线性运算求出，然后根据向量的求模运算得到||的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是∥的充要条件，从而得证．【解答】解：（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），cos（α+β）=0，显然等式不成立∴tan（α+β）=2．（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），∴||==，∴当sin2β=﹣1时，||取最大值，且最大值为．（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，即=（4cosα，sinα）与=（sinβ，4cosβ）共线，∴∥．16．（14分）（2009•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．【分析】（1）要证明EF∥平面ABC，证明EF∥BC即可；（2）要证明平面A1FD⊥平面BB1C1C，通过证明A1D⊥面BB1C1C即可，利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．17．（14分）（2009•江苏）设a n是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7（1）求数列a n的通项公式及前n项和S n；（2）试求所有的正整数m，使得为数列a n中的项．【分析】（1）先把已知条件用a1及d表示，然后联立方程求出a1，d代入等差数列的通项公式及前n项和公式可求．（2）先把已知化简可得，然后结合数列a n的通项公式可寻求m满足的条件．【解答】解：（1）由题意可得联立可得a1=﹣5，d=2∴a n=﹣5+（n﹣1）×2=2n﹣7，（2）由（1）知=若使其为数列a n中的项则必需为整数，且m为正整数m=2，m=1；m=1时不满足题意，（a1=﹣5是最小值）故舍去．所以m=2．18．（16分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y ﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l1与l2，l1的斜率为2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．【分析】（I ）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．（II）根据题意，可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，分析可得圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即可以得到一个关于a、b的方程，整理变形可得答案．【解答】解：（Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4与圆C1不相交，故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0圆C1圆心（﹣3，1）到直线的距离，直线l被圆C1截得的弦长为，则=1，联立以上两式可得k=0或，故所求直线l方程为y=0或．（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l1：y﹣b=2（x﹣a），l2：，因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，故圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即，解得：a﹣3b+21=0或3a+b﹣7=0．19．（16分）（2009•江苏）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m A元和m B 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．（1）求h甲和h乙关于m A、m B的表达式；当m A=m B时，求证：h甲=h乙；（2）设m A=m B，当m A、m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取m A、m B的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件m A=m B时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．（3）先写出结论：不能由（2）知h0=h0=．因为h甲h乙≤，不能取到m A，m B的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．【解答】解：（1）甲：买进A的满意度为h A1=，卖出B的满意度为h B1=；所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h==；甲乙：卖出A的满意度为：h A2=，买进B的满意度为：h B2=；==；所以，乙卖出A与买进B的综合满意度h乙当m A=m B时，h甲=，h乙=，所以h甲=h乙（2）设m B=x（其中x＞0），当m A=m B时，h甲=h乙==≤；当且仅当x=，即x=10时，上式“=”成立，即m B=10，m A=×10=6时，甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为；（3）不能由（2）知h0=．因为h甲h乙≤因此，不能取到m A，m B的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．20．（16分）（2009•江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．【分析】（1）f（0）≥1⇒﹣a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围，（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．（3）h（x）≥1转化为3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可．【解答】解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1（2）当x≥a时，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴，如图所示：当x≤a时，f（x）=x2+2ax﹣a2，∴．综上所述：．（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2当a≤﹣或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；当﹣＜a＜时，△＞0，得：即进而分2类讨论：当﹣＜a＜﹣时，a＜，此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当﹣≤x≤时，＜a＜；此时不等式组的解集为[，+∞）．综上可得，当a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；当a∈（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当a∈[﹣，]时，不等式组的解集为[，+∞）．。