n→ ∞ 等.
一.无穷小
定义2.3.1 如果在自变量 则称函数 f(x)为 的某个变化过程中 , 在该变化过程中的无穷小量, 简称无穷小.
简单地说, 以零为极限的变量称为无穷小量. 例如
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微积分I 第二章 极限与连续
定义2 .2 意给定的
设 { yn} 为一数列, 如果存在常数
对于任
, 总存在正整数N, 当n>N时, 不等式
恒成立, 则称常数 是数列 {yn} 当n趋于无穷大时的极限,
或称{yn}收敛于 记为
如果不存在这样的常数 , 则称数列{yngt; N时, 恒有
根据数列极限的定义：
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练习：P90， （ 2 3） .
微积分I 第二章 极限与连续
1 证明： lim 0. n n
证明：对 0,
1 1 | 0 | , 成立. n n 1 1 只需 n 2 . 因此，取 N [ 2 ], 当n N时，有 1 | 0 | 成立 n 1 lim 0. n n
研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积
分的社会背景。
2018/11/12 2 微积分I 第二章 极限与连续
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来
因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了 极限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人 们的怀疑与攻击。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里 埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，
定理2.2.3 (局部有界性) 若 常数M>0和δ>0，使得当 时,
存在, 那么存在
证 当
取ε =1, 因为 时,
则存在
于是, 当
时
取
当
有
定理2.2.4 (局部保号性) 若
则存在 δ>0, 使得当 证 设 A > 0取正数
且 A > 0 (或 A < 0).
时, ƒ(x) > 0 (或ƒ(x) < 0).
只须
故可取
恒有
成立. 即
例：利用定义证明 lim x x0 .
x x0
证明: 设f ( x) x, 对于任意给定的 0, 要使
| f ( x) x0 || x x0 | 成立
只需取 就可以了 . 当0 | x x0 | 时，
| f ( x) x0 | 成立
lim x x0 .
x x0
在定义2.2.2中, 极限过程 x →x0包括了x 同时从 x0的左、右 两侧无限的趋于x0 . 但是, 有时我们只能或只需考虑 x 仅从 x0 的左侧或右侧趋于 x0 （记为 x →x0- 或 x →x0 +）时, f(x)的变 化趋势. 例如函数
只能从2的右侧趋于2, 从而就必须引进函数左、右极限的概念.
都小于那个正数.
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微积分I 第二章 极限与连续
小于某个正数 ε 来表示. 若令
要使
则当 n>10 时, xn都能满足与0的距离小于 以后的任一项 y11, y12 , …都能满足 若再取一个更小的正数
即对于第10项
要使 xn 0
1 2, n
则当 n>100时, 即自第100项后的任一项 y101, y102, … 都满足
数列{yn}是发散的.
2018/11/12 10 微积分I 第二章 极限与连续
例1: 用极限定义证明：
证明 对任意给定的
, 要使不等式
成立, 只需
即可. 若取
则对于任意给定的
0, 当n>N时, 恒有
故
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注 (1) 在数列极限定义中,ε 可以任意给定是很重要 的,
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微积分I 第二章 极限与连续
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改
进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思
想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指 出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展， 生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决， 要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和
1, x 0, 例：设f ( x) 研究当x 0时, f ( x)的极限是否存在？ x, x 0.
解：由于
x 0 x 0
1 . lim f ( x ) lim 1
x 0 x 0
lim f ( x) lim x 0.
x 0 x 0
由 limƒ(x)= A 的定义,
必存在那么一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有
即
§2.3 无穷小与无穷大
一.无穷小
二.无穷大
三.无穷小的性质
本节将讨论在理论和应用上都比较重要的两种变量： 无穷小量和无穷大量. 为叙述简便我们用 来表示在
自变量各种变化过程中函数的极限.自变量的变化过程, 包
括x→x0 ， x→x0 +， x→x0 - ， x→ ∞ ， x→+ ∞ , x→ -∞ ，
1. 当 x →∞ 时, 函数ƒ(x)的极限
仿照数列极限的定义, 下面我们给出 x →∞ 时, ƒ(x)的极限 的定义. 定义2.3 设函数 ƒ(x)当 大于某一正数时有定义， 如果存在
常数 A, 对于任意给定的
式 时, 不等式
, 总存在
使得当x 满足不等
恒成立, 则称常数 A为当 x →∞ 时函数ƒ(x) 的极限, 或称当 x →∞ 时ƒ(x) 收敛于A,记作 或 （当 x →∞ ）
2018/11/12 14 微积分I 第二章 极限与连续
三．数列极限的性质
定理2.1.1 (极限的唯一性) 如果数列 {yn} 收敛, 则其极限唯一. 定理2.1.2 (有界性) 如果数列 {yn} 收敛, 则 {yn} 一定有界. 注 上述定理的逆不成立. 数列有界是数列收敛的必要条件, 有界数列不一定收敛. 例如
显然， lim f ( x) lim f ( x).
根据定理 2.1， lim f ( x)不存在 . 练习：P , 6 . 90 x 0
| x| 6.证明： lim 不存在。 x 0 x |x| x 证明： lim lim lim ( 1) 1; x 0 x 0 x 0 x x | x| x lim lim lim 1 1; x 0 x 0 x x0 x
2018/11/12 4 微积分I 第二章 极限与连续
第二章、极限与连续
第一节：数列的极限
一. 数列概念 二. 数列极限
三．数列极限的性质
一.数列概念
定义2.1 是定义在正整数集合上的函数, 当自变 相应排列成的一串 量n 按正整数的顺序取值时, 称函数值 数
为数列, 简记为 {f(n)}, 数列中的每个数叫做数列的项, 第n项 f(n)叫做数列的一般项(或通项). 1 1 1 1 1 ,... yn n , , , , 例1： 2 2 4 8 16 1 1 1 1 例2：yn , 1, 2 , 3 , 4 ,... n 1 (1) n yn , 0 , 1, 0 ,1,... 例3： 2
显然， lim f ( x) lim f ( x).
x 0 x 0
根据定理 2.1， lim f ( x)不存在 .
x 0
例 4 讨论当 解 当 x < 0 时, 有
时, 函数
的极限.
当 x > 0 时, 有
由于
，所以
不存在.
例5
设函数
, 讨论
是否存在?
解
当 x < 0 时, 有
例1 证明 证明
如果 义中的 同样,
且无限增大 (记作 改为 而 改为 就可得
) 那么只要 把上面定 的定义. ) 那么只要把 的定义.
无限增大 (记作 便得
由定义2.2.1可以证明： 的充要条件是
2.
定义2.4
果存在常数A,
时, 函数 ƒ(x) 的极限
设函数 ƒ(x) 在x0 的某个去心邻域内有定义, 如
定义2.5 设函数ƒ(x)在点x0右侧某个去心邻域内有定义,
如果存在常数A, 对于任意给定的ε > 0, 总存在δ > 0, 使得
当x 满足不等式
恒成立, 那么常数A就叫做函数ƒ(x)当 记做
时的右极限,
类似地, 在
的定义中, 把
改为
就可以得到在 x0处的左极限. 记为
左极限和右极限统称为单侧极限. 由极限定义易知以下的 充要条件成立. 定理2.1 函数 y = ƒ(x) 当 x→ x0 时极限存在且为 A 的充 要条件是函数y = ƒ(x) 的左极限和右极限都存在且等于A. 即
当 x > 0 时, 有
因此
不存在.
二. 函数极限的性质
由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种不 同的形式，下面仅以 这种形式给出关
于函数极限性质的一些定理. 至于其他极限形式的性质, 只 要相应地作一些修改便可得出. 定理2.2.2(唯一性) 若 存在, 则极限值 A 唯一.
注 若极限不唯一, 变化趋势不定. 例如
考察数列
, 不难看出, 当n → ∞ 时, yn 无限地趋近于常
数0, 此时, 我们就说数列 { yn }以 0为极限. 与常数 0的接近程度可用
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微积分I 第二章 极限与连续