专题一 求极限的方法【考点】求极限1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目,一般为2-3题１2-１8分左右,而用极限的概念求极限的题目已不会出现。

一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则与利用定积分的概念求极限,使用这些方法时要注意条件,如等价量代换就是在几块式子乘积时才可使用,洛必达法则就是在0比０,无穷比无穷的情况下才可使用,运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。

2、 极限收敛的几个准则:归结准则(联系数列与函数)、夹逼准则(常用于数列的连加)、单调有界准则、子数列收敛定理(可用于讨论某数列极限不存在)3、 要注意除等价量代换与洛必达法则之外其她辅助方法的运用,比如因式分解,分子有理化,变量代换等等。

4、 两个重要极限0sin lim 1x xx→= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=,注意变形,如将第二个式子1lim(1)xx x e→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。

5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结,如: （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2） 函数在某点极限存在的充要条件就是左右极限存在且相等。

有时可以利用这点进行解题,如111lim x x e-→因左右极限不相等而在这点极限不存在。

(当式子中出现绝对值与e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发)（3） 遇到无限项与式求极限时想三种方法:①瞧就是否能直接求出这个与式(如等比数列求与)再求极限 ②夹逼定理③用定积分的概念求解。

(4)如果f(x)/g(x)当x →ｘ０时的极限存在,而当ｘ→x0时g(x)→０,则当x →x ０时f(x)也 →0(５)一个重要的不等式:sin x x ≤(0x >) *其中方法②③考到的可能性较大。

6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。

7、 闭区间上连续函数的性质(最值定理、根的存在性定理、介值定理) 8、 此部分题目属于基本题型的题目,需要尽量拿到大部分的分数。

【例题精解·求极限的方法】方法一:直接通过化简,运用极限的四则运算进行运算。

【例1】求极限 11lim 1m n x x x →--解1212 111(1)() lim lim1(1)()m m mn n nx xx x x xx x x x----→→--++=--++…1…1=mn注:此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。

还可通过变量代换构造等价量。

【例2】求极限22lim(1)xx x x→+∞+--解22221lim(1)lim21x xx x xx x x→+∞→+∞+--==++-注:1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化与采取倒变量的方法。

2、一个最基本的多项式极限112112limn nnm mxna x a x ab x b x b--→+∞++++++……(系数均不为0):①若ｎ>m,则极限为正无穷;②若n<m,则极限为０;③若n=m,则极限为11ab。

(本质为比较次数)要注意的就是x就是趋向于正无穷,而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的12次来计算,如21x+的次数为１。

方法二:利用单调有界准则来证明极限存在并求极限【例3】设112u≥-,112(1,2,...)n nu u n+=+=,证明lim nnu→∞存在并求之方法三:利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。

【例4】求极限(1lim123...n n n n n n→∞++++解 因 (1111=123...=n n nn n n n n n n n n⋅<+++<⋅ 而 lim1=lim =1nn n n →∞→∞故由夹逼定理(1lim 123...n n n n n n→∞++++=1方法四＆方法五:等价量代换、洛必达法则——未定式极限。

(化加减为乘除！)【例５】求极限tan 0lim tan x x x e e x x→--解 原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x-→→--==--【例６】求极限1121lim ()x x x x a a+→+∞-解111111222(1)111lim ()=lim (1)lim 1(1)x x xx x x x x x x x a a x aax a-++++→+∞→+∞→+∞--=⋅⋅-=21lim 1ln ln (1)x x a a x x →+∞⋅⋅⋅=+【例７】求极限limx →解 原式=x →=()022tan sin lim4sin 23x x xx x x →-+⋅⋅ =02tan (1cos )lim sin 423x x x x x x x x →-⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭=302132lim 416123x xx x →=⋅⋅⋅【例8】求极限01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--解:直接运用洛必达法则与等价量代换可得01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--＝000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3limlim lim23x x x x x x x x x x x x x x x→→→++＝000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3limlim limsin sin sin x x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3lim lim limx x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3lim lim lim23x x x x x x x x x x x xx x x →→→++＝１+4+9=１4【例9】求极限lim log ()abx x x x →+∞+解: 由换底公式,＝ln()lim ln a b x x x x →+∞+(∞∞)=lim a b a b x ax bx x x →+∞++=lim a ba bx ax bx x x →+∞++ 若a b ≥,则极限为a ;若a b <,则极限为b ,综上,极限为max{,}a b方法六:幂指函数求极限——取对数再取指数。

【例10】21lim sinnnnn→∞⎛⎫⎪⎝⎭(1)∞解222111sinlim sin=lim sin limn xtn x tt n xn x t+→∞→+∞→⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin1sinsinlim11t t tt t t tttt+-⋅⋅-→⎛⎫=+-⎪⎝⎭3200sin0cos11lim lim036t tt t tt te e e++→→--⎛⎫-⎪⎝⎭===【例1１】1ln+lim arctan2xxxπ→∞⎛⎫-⎪⎝⎭(0)解+1ln arctan2ln lim()ln+lim arctan=2xxxxxx eππ→∞⎛⎫-⎪∞⎝⎭∞→∞⎛⎫-⎪⎝⎭2211()1()arctan0 21lim lim()10arctan2x xxxxxxxe eππ→+∞→+∞⋅-+--+-==221lim11xxxe e→+∞--+==【例12】求极限cot1limarc xxxex→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭❉注意x就是趋向正无穷,此时需要先分析底数与指数分别趋向于多少,分析底数易知底数趋向于正无穷。

但就是指数arcｃｏtx这个函数不就是很熟,可以通过图像先分析cｏtx再分析ａrccoｔx趋向于多少,最后得出结论就是指数趋于０。

故就是一个“0∞”型,所以要用“先取对数再取指数”的方法。

对于之后ａrccotx 的处理,若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做,这里给出一个转化为熟悉的,可等加量代换的式子的方法,方法较灵活,需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。

解 原式=1arccot ln lim x e x x x e⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭→+∞=1lim arccot ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=11lim arctan ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=()ln 1ln lim x x e x x e→+∞--∞⎛⎫⎪∞⎝⎭=1lim1xx x e x e e→+∞--=e❉关于第三个等号左右的变化:令cot y arc x =,则1cot tan x y y==,故1tan y x =,1arctan y x =,综上,1cot tan arc x arc x=方法七:运用泰勒定理求极限——适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。

【例13】求极限22202lim (cos )x x x x x e →+--解2441()28x x o x =+-+0x →，,23cos 1()02!x x o x x =-+→， 2221()0x e x o x x =++→， 代入原式可得,原式=422420232222()4lim 1()1()2!x x x x o x x x o x x o x →+--++⎡⎤-+---⎢⎥⎣⎦=44044()4lim 3()2x x o x x o x →+-+＝16-方法八:通过定积分的概念来求极限【例1４】求22222lim (...)149n n n n nn n n n n→+∞++++++++ 解 由于此题无法直接对式子进行化简,也无法用夹逼定理,故想到用定积分的概念来求解,即原式=2222222221lim (...)149n n n n n n n n n n n →+∞++++++++＝222211111lim ...1231111n n n n n n n →+∞⎤⎡⎥⎢⎥⎢++++⎥⎢⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =2111lim1nn i n i n →+∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 此时由定积分的概念可将上面的与式瞧成被积函数21()1f x x=+在［0,1]上的定积分,故 22222lim (...)149n n n n n n n n n n →+∞++++++++=12011dx x +⎰=4π【例15】求极限1111lim ln 1[(1)(2)...21]lim (!)=lim nn i i nn n nn n n n n n e n n→+∞=→+∞→+∞∑--⋅=解1111[(1)(2)...21](1)(2)...21lim (!)=lim lim nnnn n n n n n n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞--⋅--⋅⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11231lim (...)nn n n n n n n n→+∞-=⋅⋅⋅11231limln(...)n n n n n n n n n e→+∞-⋅⋅⋅=11lim ln nn i in n e→+∞=∑=1ln xdx e⎰=10(ln )|1x x x e e --== 【例１6】2222221sin sin lim ln nn k k k n k k n n →+∞=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∑ 【分析】此题瞧似复杂,其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的与式求极限,故再次想到用定积分的概念求解。