5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
3、最小费用流问题的解的特征
（1）具有可行解的特征：在以上的假设下，当 且仅当供应点所提供的流量总和等于需求点 所需要的流量总和时（即平衡条件），最小 费用流问题有可行解；
（2）具有整数解的特征：只要其所有的供应、 需求和弧的容量都是整数值，那么任何最小 费用流问题的可行解就一定有所有流量都是 整数的最优解（与运输问题和指派问题的解 一样）。因此，没有必要加上所有决策变量 都是整数的约束条件。
(5) 售货员从某个点vi出发走过其他所有点后回 到原点vi，如何安排路线使总路程最短。这属 于货郎担问题或旅行售货员问题。
（6）邮递员从邮局vi出发要经过每一条边将邮件 送到用户手中，最后回到邮局vi，如何安排路 线使总路程最短。这属于中国邮递员问题。
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5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
5.1 网络最优化问题基本概念 5.2 最小费用流问题 5.3 最大流问题 5.4 最短路问题 5.5 最小支撑树问题 5.6 货郎担问题和中国邮路问题
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本章主要内容框架图
第5章 网络 最优化问题
点
基本概念
连线（边或弧） 权（赋权图） 网络图
网络最优化问题
第5章 网络 最优化问题
▪ 许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究 的目的归结为图的极值问题。
▪ 运筹学中研究的图具有下列特征：
(1) 用点表示研究对象，用连线（不带箭头的边 或带箭头的弧）表示对象之间某种关系；
(2) 强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比 例大小与形状；
(3) 每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。 实际中权可以代表两点之间的距离、费用、利 润、时间、容量等不同的含义；
量取决于该弧的容量； （5）网络中有足够的弧提供足够容量，使得所有在供应点中
产生的流都能够到达需求点；（有解） （6）在流的单位成本已知前提下，通过每一条弧的流的成本
和流量成正比；（目标是线性的） （7）最小费用流问题的目标在满足给定需求条件下，使得通
过网络供应的总成本最小（或总利润最大）。
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第5章 网络 最优化问题
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第5章 网络最优化问题
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第5章 网络 最优化问题
本章内容要点
网络最优化问题的基本概念 网络最优化问题的四种主要类 型：最小费用流、最大流、最 短路、最小支撑树 各种网络最优化问题的建模与 应用
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本章节内容
▪ 最小费用流问题的特殊类型包括运输问题 和指派问题，以及在下面将要提到的两种 重要类型：最大流问题和最短路问题。
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5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
例5.1 某公司有两个工厂生产产品，这些产品需要运 送到两个仓库中。其配送网络图如图5－2所示。 目标是确定一个运输方案（即每条路线运送多少单 位的产品），使通过配送网络的运输成本最小。
主要类型
最小费用流问题 最 最大 短流 路问 问题 题
最小支撑树问题
货郎担问题和中国邮路问题
节点（供应点、转运点、需求点）
建模和求解
净流量 数学模型
电子表格模型
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5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
▪ 网络在各种实际背景问题中以各种各样的形式 存在。交通、电子和通讯网络遍及我们日常生 活的各个方面，网络规划也广泛用于解决不同 领域中的各种问题，如生产、分配、项目计划 、厂址选择、资源管理和财务策划等等。
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题类型主要包括：
（1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等
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5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
▪ 最小费用流问题的模型在网络最优化中扮 演着重要的角色，因为它的适用性很广， 并且求解方法容易。通常最小费用流问题 用于最优化货物从供应点到需求点的网络 。目标是在通过网络配送货物时，以最小 的成本满足需求，一种典型的应用就是使 得配送网络的运营最优。
（2）弧：可行的运输线路（节点i->节 点j），经常有最大流量（容量）的限 制。
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5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
2、最小费用流问题的假设 （1）至少一个供应点； （2）至少一个需求点； （3）剩下都是转运点； （4）通过弧的流只允许沿着箭头方向流动，通过弧的最大流
80
F1
（无限制，700）
W1
60
（50，300） （50，400）
（50，200） DC
（50，400）
70
F2
（无限制，900）
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W2
90
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题的三个基本概念：
1、最小费用流问题的构成（网络表示）
（1）节点：包括供应点、需求点和转运 点；
(4) 建立一个网络模型，求最大值或最小值。
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5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
v1 5
v2
8
v3
7
v5
5
4
8
1
2
v4
v6
3
6
对于该网络图，可以提出许多极值问题
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5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
（1）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点vj，使得运送成本最小。这属于 最小费用流问题。
（2）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点vj，使得流量最大。这属于最大 流问题。
（3）从某个点vi出发到达另一个点vj， 怎样安排路线使得总距离最短或总费 用最小。这属于最短路问题。
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5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
（4）点vi表示自来水厂及用户，vi与vj之间的边 表示两点间可以铺设管道，权为vi与vj间铺设 管道的距离或费用，极值问题是如何铺设管道 ，将自来水送到其他5个用户并且使总的费用 最小。这属于最小支撑树问题。
▪ 网络规划为描述系统各组成部分之间的关系提 供了非常有效的直观和概念上的帮助，广泛应 用于科学、社会和经济活动的各个领域中。
▪ 近些年来，运筹学（管理科学）中一个振奋人 心的发展是它的网络最优化问题的方法论和应 用方面都取得了不同寻常的飞速发展。
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5.1 网络最优化问题基本概念