第一篇 分析基础 1.1收敛序列（收敛序列的定义）定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有ε<-a x n那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。

定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件N n z y x n n n ∈∀≤≤,如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有a y n =lim定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价（1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得,1,2,.n n x a a n =+=L（收敛序列性质）定理4：收敛序列}{n x 是有界的。

定理5：（1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。

（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim (。

（3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。

（4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则ax n 11lim=。

（5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim limlim n n n n y y b x x a==。

（收敛序列与不等式）定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有n n x y <定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足0,,n n x y n N ≤∀>那么lim lim n n x y ≤1.2 收敛原理（单调序列定义）定义：（１）若实数序列}{n x 满足1,,n n x x n N +≤∀∈则称}{n x 是递增的或者单调上升的，记为{}.n x ↑（２）若实数序列{}n y 满足1,,n n y y n N +≥∀∈则称{}n y 是递减的或者单调下降的，记为{}n y ↓（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。

定理１：递增序列}{n x 收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup{}n x 。

定理1推论：递减序列{}n y 收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf{}n x 。

扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为10,,n n x x n N +≤∀>及10,,n n y y n N +≥∀>（自然对数的底e ）自然对数的底e 通过下面这个式子求得1lim 1nn e n →+∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭我们先来证明序列11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是收敛的。

（1）序列11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是单调上升的。

111112111(1)(1)(1)2!3!1121(1)(1)(1)!1121(1)(1)(1)!nn x n n n n k k n n n n n n n n⎛⎫=+=++-+-- ⎪⎝⎭-++----++---L L L L11111112111(1)(1)(1)12!13!111121(1)(1)(1)!1111121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1)(1)!111n n x n n n n k k n n n n n n n n n n n n n ++⎛⎫=+=++-+-- ⎪++++⎝⎭-++---+++-++---++++---++++L L L L L 对比n x 和1n x +的展开式，1n x +前面1n +项的每一项都比n x 中相应项要大，即11211121(1)(1)(1)(1)(1)(1)!111!k k k n n n k n n n----->---+++L L 除此之外1n x +还比n x 在最后多一个正项。

因此我们得出n x 是单调上升的，即1,,n n x x n N +<∀∈（2）序列11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是有上界的。

21111121111(1)(1)(1)(1)2!!111112221112113111122nn n nn x n n n n n n -⎛⎫=+=++-++--- ⎪⎝⎭<+++++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+<+=--L L L序列11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用e 表示。

通过计算机模拟，我们可以得到e 的近似值，前几位是2.718281828459045…在数学中，以e 为底的对数称为自然对数，e 称为自然对数的底，正实数x 的自然对数通常记为ln x ，log x 或者log e x 。

（闭区间套原理）定理2（闭区间套原理）：如果实数序列{}n a 和{}n b （或闭区间序列[]{},n n a b ）满足条件 （1）[][]11,,n n n n a b a b --⊂（或者11,1n n n n a a b b n --≤≤≤∀>）（2）()lim 0n n b a -= 那么（i ）闭区间序列[]{},n n a b 形成一个闭区间套。

（ii ）实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值c 。

lim lim n n a b c ==（iii ）c 是满足以下条件的唯一实数值。

,n n a c b n N ≤≤∀∈证明：（ii ）由条件（1）可得111n n n n a a b b b --≤≤≤≤≤L我们可以看到{}n a 单调上升而有上界，{}n b 单调下降而有下界，因此{}n a 和{}n b 都是收敛序列。

由条件（2）可得()lim lim lim 0n n n n b a b a -=-=，因此实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值。

lim lim n n a b c ==（iii ）因为{}{}sup inf n n c a b ==所以显然有,n n a c b n N ≤≤∀∈假如还有一个实数'c 满足',n n a c b n N ≤≤∀∈由于lim lim n n a b c ==那么根据夹逼准则，有'lim 'lim lim n n c c a b c ====则证明了c 是唯一的。

（Bolzano-Weierstrass 定理） 定义：设{}n x 是实数序列，而1231k k n n n n n +<<<<<<L L是一串严格递增的自然数，则1231,,,,,,k k n n n n n x x x x x +L L也形成一个实数序列。

我们把序列{}k n x 叫做序列{}n x 的子序列（或部分序列），要注意的是子序列{}k n x 的序号是 k 。

定理3：设序列{}n x 收敛于a ，则它的任何子序列{}k n x 也都收敛于同一极限a 。

证明：对于任意0ε>，存在0N N ∈，使得只要0n N >，就有n x a ε-<当0k N >时就有0k n k N ≥>，因而此时有k n x a ε-<定理4（Bolzano-Weierstrass ）：设{}n x 是有界序列，则它具有收敛的子序列。

（柯西收敛原理）柯西序列定义：如果序列{}n x 满足条件：对于任意0ε>，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有m n x x ε-<则此序列为柯西序列，又称基本序列。

引理：柯西序列{}n x 是有界的。

证明：对于任意1ε=，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有1m n x x -<于是对于0n N >，我们有0001111n n N N N x x x x x +++≤-+<+若记{}00121max ,,,,1N N K x x x x +=+L则有,n x K n N ≤∀∈定理5（收敛原理）：序列{}n x 收敛的必要充分条件是：对任意0ε>，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有m n x x ε-<换句话说：序列{}n x 收敛⇔{}n x 序列是柯西序列1.3 无穷大定义：（1）设{}n x 是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当n N >时就有n x E >那我们就说实数序列{}n x 发散于+∞，记为lim n x =+∞（2）设{}n y 是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当n N >时就有n y E <-那我们就说实数序列{}n y 发散于-∞，记为lim n y =-∞（3）设{}n z 是实数序列，如果序列{}n z 发散于+∞，即lim n z =+∞，那么我们就称{}n z 为无穷大序列，记为lim n z =∞注记：（1）若集合E R ⊂无上界，则记sup E =+∞（2）若集合F R ⊂无下界，则记sup F =-∞定理1：单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是： （1）递增序列{}n x 有极限，且{}lim sup n n x x =（2）递减序列{}n y 有极限，且{}lim inf n n y y =定理2：设{}n x 和{}n y 是实数序列，满足条件,n n x y n N ≤∀∈则有：（1）如果lim n x =+∞，那么lim n y =+∞； （2）如果lim n y =-∞，那么lim n x =-∞。

定理3：如果lim n x =+∞（或-∞，或∞），那么对于{}n x 的任意子序列{}k n x 也有lim k n x =+∞（或-∞，或∞）定理4：设0,n x n N ≠∀∈，则{}n x 是无穷大序列⇔1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小序列 扩充的实数系：{,}R R =⋃-∞+∞定理5：实数序列{}n x 至多只能有一个极限。

扩充的实数系R 中的运算： （1）如果x R ∈，那么()()x x +±∞=±∞+=±∞()x -±∞=∞m（2）如果x R ∈，0x >，那么()()x x ⋅±∞=±∞⋅=±∞如果y R ∈，0y <，那么()()y y ⋅±∞=±∞⋅=∞m（3）如果x R ∈，那么0x x ==+∞-∞（4）()()+∞++∞=+∞，()()+∞--∞=+∞()()-∞+-∞=-∞，()()-∞-+∞=-∞ ()()+∞⋅+∞=+∞，()()-∞⋅-∞=+∞ ()()()()+∞⋅-∞=-∞⋅+∞=-∞（5）除此之外，其余都没有定义。