初等数论试卷(B)一，选择题（满分15分，每题3分）1，下列不正确的是（ ）A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡ ，则)(mod m a b ≡。

B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡.C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(m od 2121m b b a a ≡。

D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(m od 22m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。

2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ）A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。

3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）A 203，B 607，C 51，D 10019。

4，同余方程)5(m od 022≡+x 的解为（ ）A )5(mod 0≡x ，B )5(mod 4≡x ，C )5(mod 2≡x ，D 此方程无解。

5，下列哪一个同余方程组无解（ ）A ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ，B ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)6(mod 1)9(mod 4x xC ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ，D ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)7(mod 26)14(mod 19x x 。

二，填空题（满分10分，每题2分）1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。

2，设m ∈+N ，则 为模m 的非负最小完全剩余系。

3，=)16(ϕ 。

4，写出模8的一个简化剩余系： 。

5，余式)5(mod a x ≡等价于等式： 。

三，判断题（满分10分，每题2分 ）1，)(m ϕ为欧拉函数，则1)(1-≤≤m m ϕ。

（ ）2， 设m ∈+N ，a ∈Z ，（a,m ）=1，若整数集合{})(21,......,,m a a a ϕ为模m 的一个简化剩余系，则{})(21,......,,m aa aa aa ϕ也为模m 的一个简化剩余系。

（ ）3，模m 的完全剩余系只有有限个。

（ ）4，循环小数5544301.0&&的循环节长度为4。

（ ） 5，两整数相等，则必同余。

（ ） 四，求解题（满分30分 ）1，用“弃九法”验算下面式子是否正确：10018656763457828947=⨯。

（'7）2，求117所化成的循环小数的循环节的长度。

（'7）3，求同余方程)15(mod 69≡x 的所有解。

（'8）4，求同余方程组⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x 的解。

（'8）五，证明题（满分25分 ）1，证明：对一切正整数x，都有 )8(m od 3371331632241552345++≡-+-++x x x x x x x 。

（'7）2，设q p ,是两个大于3的质数，证明：).24(m od 22q p ≡（'8）3，求证：当n 为奇数时，)()(n n b a b a ++。

（'10）初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391] = 173911768⨯=104⨯391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

3、解同余式)45(mod 01512≡+x . （8分）解 因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为 3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+.我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x ,)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x ,)45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 解 把⎪⎭⎫ ⎝⎛563429看成Jacobi 符号,我们有⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298142921563.214292---------------（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167----------------------（2分） 11311327)1(27132113.2127=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--,-----------------（2分）即429是563的平方剩余. ---------------（1分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. (10分) 证明 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , ------（3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,-----（3分） 即62332n n n ++是整数. -----（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）证明 因为133)1(233++=-+n n n n , -------------（3分） 所以只需证明1332++n n T )5(mod .而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,±1,±2代入1332++n n 分别得值1，7，1，19，7.对于模5, 1332++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,所以1332++n n T )5(mod ---------（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。

--------（1分）3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. （11分）证明 设n 是正数,并且)4(mod 1-≡n , ----------（3分）如果22y x n +=, ---------（1分）则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余,所以22,y x 只能与0,1同余,所以 )4(m od 2,1,022≡+y x , ---------（4分）而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符, ---------（2分）即定理的结论成立. ------（1分）一、单项选择题1、=),0(b （C ）.A b B b - D 02、如果a b ，b a ，则(D ).A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C ）.A a B b C 1 D b a +4、小于30的素数的个数（A ）.A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ C ）.A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+595 3468=595⨯5+493 595=493⨯1+102 493=102⨯4+85102=85⨯1+17 85=17⨯5,所以,(24871,3468)=17.2、 求[24871,3468]=? 解：因为（24871,3468）=17 所以[24871,3468]=173********⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。