(n1,2,......则 ) 称孤立 z0为 奇 f(z)点 的可去奇
例如：
由于 si1 zn z z2 1zz(4z ..z33.!..z5.！ 0 5 z... ....)
3! 5! 所 以z， 0是sinz的 可 去 奇 点 。
z
可去奇点的判别法： (i) 展开为洛朗级数； (ii) z 0 为 f ( z ) 的 可 去 奇 点 的 充 分 必 要 条 件 是
因 为 f(z)z12(zz22 !z33 !...)
z11 z ... 2! 3!
所以z， 系：
零点： 使解 f(z 析 )0 的 函 z0 称 点 数 f(z 为 )的零点 m 级零点： 若 f(z)可表 f(z) 示 (z z0 ) 为 m g (z), 其g 中 (z)在 z 0 点 ，解 g (z 0 析 ) 0 ,m 为 ，正 且整
第五章 留数及其应用
• 孤立奇点的概念 • 留数的定义、计算、留数定理 • 留数定理的应用（积分计算）
5.1 孤立奇点的分类
1、孤立奇点的定义
若 f ( z ) 在 z 0 点 不 解 析 ， 但 在 z 0 的 某 个 去 心 邻 域 内 解 析
则称 z0为f (z)的孤立奇点。 例如： z 0是sinz、e1z的孤立奇点。
则称 z0为f(z)的m级零点。
零点的判别： 若 z0 为 f(z)的解z 析 0 为 f(z) 点 的 m 级 ， 零 则
例如：
f(k )(z0 ) 0(k 0 ,1 ,.m . .1 )而f(m)(z0)0
f (z) z3 1, f(1 ) 0 ,f'(1 ) 3 z2|z 1 3 0
所 以 ， z 1 为 f( z ) 的 一 级 零 点 。
1
k
0
(当k时）
2、孤立奇点的分类
设z0是f (z)的孤立奇则 点，存 z0的 在 去心 0z 邻 z0域
f (z)在该邻域内解析。
于是 f(z)在0zz0 内可展开为洛朗级数
f(z) an(zz0)n an(zz0)n an(zz0)n
n
n0
n1
（1）可去奇点
若洛朗展开式(z中 z0不 )的含 负有 幂即 项 an ， 0,
2 ! 4 !
(2 n )!
z
于 1 z c 是 2z o 2 1 s ! z 4 2 ! .. ( . 1 )n 1( z 2 2 n n )2 !... 所以 z0为可去奇点。
（2）极点
若洛朗展开有 式限 中 (z 项 只 z0)的 含负 有幂项
则 称 z0为 f(z)的 极 点 。
显然，函数的奇点是
z 1 , zk 1 k 2(k 0 , 1 , 2 ...)
由
于 limtanz(1)lim sin z(1) 1 z1 z1 z 1 z1 cozs(1)
1
所以， z1为可去奇点。
又
s
inz(1) z1
zk0,
cosz(1) zk 0
[czo1 s)]z(ksizn 1 ()zk
（iv) z0为 f(z)的 m 阶 极 点 zl im z0(zz0)mf(z)cm ， 这 里 c-m0， m 为 正 整 数
例如：
f(z)(z2z1)(z21)2
z1为 f(z)的 二 级 z极 i是 f点 (z)的 ，一 级
注意判别条件
例如： f(z)ezz21 z 0不是f (z)的二级极点
sin(k
)
2
（1）k（1） k10
所zk以 是 coz s1()的一级 f(z零 )的点 一， 级
3、本性奇点
若 f(z)的洛朗展开 穷 式 多 (z中 项 z0)的 含负 有 则称z0为f (z)的本性奇点。
判别法：
(i) 把 f( z ) 展 开 为 洛 朗 级 数 ， 用 定 义 判 别 ；
若洛朗展开有 式限 中 (z 项 只 z0)的 含负 有幂项 且 其 中 关 于 (z-z 0 ) 1的 最 高 幂 为 (z z 0 ) m ， 这 里 m 是 正 整 数 ， 则称 z0为f(z)的m级极点。
例如：
因
为f
(z)
ez z2
z12
(1zz2 2!
...)
z2z11zz2... 2! 3! 4!
z
f(z) 1 (zi)(z1)
有两个孤立 z奇 i,z点 1
注 ： 当 z0 为 不 解 析 点 ， 又 是 一 系 列 奇 点 的 极 限 点 ， 则 z0 为 非 孤 立 奇 点 。
例
z0是函数 si1n1z的奇点，但不是点孤，立奇
因 为 z1(k 为 非 零 整 数 )都 是 它 的 奇 点 ， k
由 si于 z1 n 1 n 0 ( 1 )n (2 n 1 )( 1 z ! 1 )2 n 1 0z1 有无穷 z多 1的个 负幂项， 所以z， 1是f(z)的本性奇点。
limf(z)l(有 限 值 ） ，
z z0
例解 法z 一 0 由 是 于 1 lz im 0z c 1o 2 s zc2z o的 zs 什 lzim么 0 2类 sizn2型 2 2z的 12孤 立 奇 点 ？
所以 z0为可去奇点。
解 法 二 由 c于 o z 1 sz2z4 .. ( . 1 )nz2 n ...
所以z， 0是f(z)的二级极点。
极点的判别法： (i) 展开为洛朗级数，用定义判别；
（ii) z 0 为 f(z) 的 极 z l i z 0m f 点 (z)
(iii)
z0为 f(z)的 m级 极 点 f (z)
(z
h(z) z0)m
其 中 ， h ( z 0 ) 0 且 h ( z ) 在 z 0 解 析 ；
(ii) z0是 f(z)的本性 l奇 im f(点 z)不存在 ，
z z0
例如：
1
函数f(z)ez以z 0为本性奇点，因为
e1 z1z 11z2.. .1zn.中 .. 含有 z的无 负
2!
n !
例 讨 论 sin1的 孤 立 奇 点 及 类 型 。 z 1
解：（ 1） z1是sin 1 的孤立奇点。 z1
（v) z0为 f(z)的 m 级极 z点 0为 f1 (z)的 m 级零 (vi) 若 f(z)Q P((zz)),P(z0)0且 P(z)在 z0点解析 若 z0是 Q (z)的 m 级零点f， (z)的 m 则 级必 极为 点
例 试确定f函 (z)数 tan z(1) 的奇点类型
z1
解：由f于 (z)taz n 1 ) ( sizn 1 )( z 1 (z 1 )co z s 1 )(