线性代数概念的几何意义
二阶矩阵特征值的几何意义
例5.已知矩阵
1 3
1 2
A1
2
5
A2 1
5
1 2
2 1
A3 2 4 A4 3
2
求它们的特征值和特征 向量，并绘制特征向量 图，分析其几何意义。
解： 在MATLAB命令窗口输入： A1=[-1,3;2,5]; [V1,D1]=eig(A1) eigshow(A1)
2
2
1
1
0
0
-1
-1
0
1
-1
-1
0
1
平面上线性变换的几何意义
• 对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上 是两个向量所构成的平行四边形的面积。
• 一个变换所造成的图形的面积变化，取决于该变
换矩阵的行列式,A1 ,A4 和A5 的行列式绝对值都是 1，所以变换后图形的面积不改变。而A2 和A3 的行
(1)
x1 5x2 x3 1 3x1 3x2 x3 2
2x1 0.5x2 x3 3
(2)
8x1 x2 x3 0 2x1 x2 x3 0
3x1 x2 x3 0
(3)
5x1 7x2 x3 5 x1 4x2 x3 12
• 针对矩阵A4，当向量 x 顺时针旋转时，向量 A4 x 也顺时针 旋转，但它永远也追不上向量 x ，它们之间总保持着一定
的角度，则矩阵 A4 没有实特征值 。
二维向量组的线性相关性的几何 意义
例6. 设平面上的向量
u
u1 u2
2 4
,
v
v1 v2
旋转。向量 x 的轨迹为
一个圆，而向量 Ax 的
轨迹一般情况为一个椭
圆。同理，可以对其它
三个矩阵进行同样的操
作，绘制图形如图5所示。
图5 特征值及其演示
函数eigshow(A)描述了向量 Ax随向量 x的变
换关系：
当向量 x 在旋转的过程中，如果向量 x 与向量Ax
共线(包括同向和反向)，则有等式 A1x x
3 1
,
2 3 9 w 1.5 4 2 1 4 u, v不共线，线性无关；共线，线性相关
图6 向量u,v线性组合成向量w
例7 设三维空间中的三个列向量v1,v2和v3：
1 3 3
v1
1
,
v2
为一实数乘子，为正表示两个向量同向， 为负
表示两个向量反向。人们把向量Ax 与向量 x 共
线的位置称为特征位置，其中实数 就称为矩阵
的特征值，而此时的 x 即为矩阵 A 的属于 的
特征向量。
特征值表示线性变换Ax在特征向量x方向上的 放大(缩小)量。
• 针对矩阵 A1，当向量 x 顺时针旋转时，向量 A1 x逆时针旋
ezplot('x1+2*x2=5')
% 绘制直线x1+2*x2=5
hold on
% 保留原来图形
ezplot('2*x1-3*x2=-4')
% 再绘制直线2*x1-3*x2=-4
title('x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4')
% 在图上标注x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4
• AX=b • 最小二乘解 • 命令：x=pinv(A)*b
x=A\b
三元一次方程组的几何表示
三个三元一次方程构成的方程组： • 若三个平面只有一个交点，即方程组有唯一
解； • 若三个平面相交于一直线，即方程组有无穷
多解； • 若三个平面没有交点或交线，即方程组无解。
例2 求解下列线性方程组，并画出三维 图形来表示解的情况。
与过点C做平行y轴直线相交于点D。显然可以得到三角形CDB
和三角形AEO全等，则有：
y
C
SOACB = SOEDB + SCDB - SAEO - SAEDC
B(a2,b2) D
= SOEDB - SAEDC
A(a1,b1)
= a1b2 - a2b1
O
E
x
二阶行列式的几何意义
根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面积刚好是以 A、B两点坐标所构成的二阶行列式:
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3Βιβλιοθήκη vw uO
平面上线性变换(y=Ax)的几何意义
例3 已知向量及矩阵
x
2 1
1 0
A1
0
1
1 0 A2 0 1
0.5 0
A3
0
2
cos sin A4 sin cos
a1 b1 a2 b2
一如般情况下Ouu也Aur构， 可O成u以uBu的r证一明个：平过行原四点边的形两的条面直积线为(向A、量B)两， 点坐标所构成的二阶行列式的绝对值。
三维情形 已知三个向量
u (a1, a2, a3), v (b1,b2,b3), w (c1, c2, c3)
由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为 三阶行列式的绝对值 （如图）
线性代数概念的几何意义
东莞理工学院城市学院 教师：李红艳
主要内容
• 二元、三元线性方程组的几何意义 • 二阶、三阶行列式的几何意义 • 平面上线性变换的几何意义 • 二阶矩阵特征值的几何意义 • R2 中向量组的线性相关性的几何意义
二元、三元线性方程组的几何意义
二元一次方程在几何上表示的是一条直线， 则含两个二元一次方程的方程组在几何上则 表示两条直线的位置关系：
3
请分析经过线性变换 yi Ai x i 1,2,3,4 后，向量 yi 与原向量 x 的几何关系 。
• 绘制图形如下图所示： 图3 线性变换的几何意义
例4.设二维平面上第一象限中的一个单位方块， 其四个顶点的数据可写成
B
0 0
1 0
1 1
0 1
相交====〉有唯一解 平行====〉无解 重合====〉无穷多解
例1 求解下列四个线性方程组
(1)
2xx11
2x2 3x2
5 4
(2)
3xx11
3x2 9x2
2 6
(3)
2xx11
3x2 6x2
5 6
(4)
x1 2 x1
绘制几何图形可得：
(a) B=[0,1,1,0;0,0,1,1] 2
(b)A1=[-1,0;0,1] 2
1
1
0
0
-1
-1
0
1
-1
-1
0
1
(c)A2=[1.5,0;0,1] 2
1
0
-1
-1
0
1
(d)A3=[1,0;0,0.5] 2
1
0
-1
-1
0
1
(e)A4=[1,0.5;0,1] (f)A5=[cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)]
把不同的A 矩阵作用于此组数据，可以得到多
种多样的结果 Ci = AiB。 令B=（X1，X2，X3，X4），则
AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）
用MATLAB程序进行计算，并画出B及C图形：
B=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],'r') A1=[-1,0;0,1],C1=A1*B subplot(2,3,2), fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],'g')
列式分别为1.5和0.5，变换后图形的面积的增加 或减少倍数等于对应行列式的绝对值。
图像变换中的示例
• 在二维的图像变换 模型中，最基本的 图像变换有平移、 旋转、缩放（包括 各向同性和各向异 性）、反射和错切。 由这些基本的图像 变换组合，可以得 到刚性变换、相似 变换、仿射变换、 透视变换等复合变 换。
2 x2 x2
3 2
x1 3x2 5
以方程组（1）为例：在MATLAB的M文件编辑器中，输入
syms x1 x2
% 定义x1、x2为符号变量
U1=rref([1,2,5;2,-3,-4])
% 把增广矩阵通过初等行变换 % 变为最简阶梯矩阵
subplot(2,2,1)
% 准备画2×2个图形中的第一个
1 ,
v3
1
,
2 3 0
z
4
v2
2
v1
v3
0
2y
1
2x 0
0 -2
若三个向量不共面，则线性无关， 它们的线性组合可以覆盖 整个三维空间； 若共面，则线性相关，它们的线性组合将只能 构成一个平面，甚至一条直线。
Thanks ☺
grid on
% 显示网格
绘制图形如图1所示：
从运行结果可以看出:
方程组（1）的解为
xx21
1 2
；
方程组（2）的通解为： k13 02 ；
方程组（3）和方程组（4）这两个方程组无解。
从图1中可以形象地看出:
方程组（1）的两条直线有一个交点，故有唯一解（适定）； 方程组（2）的两条直线重合，则有无穷组解（欠定）； 方程组（3）的两条直线相平行，永远没有交点，即无解； 方程组（4）的三条直线不共点，则也无解（超定），可求最小二乘解。
