中国人口增长预测模型摘要人口发展战略是国民经济和社会发展的基础性战略。

以人为本的科学发展观强调，在以经济建设为中心的同时，更好地促进人的全面发展。

优先投资于人的全面发展是科学发展观在人口发展战略中的具体体现。

优先投资于人能够在人的发展与物资财富的增长之间建立有机联系，符合社会发展趋势，体现了历史合理性。

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

因此，就需要对人口增长问题进行研究。

在考虑人口变化的数学模型中，传统的数学模型主要是微分方程模型，其主要缺点是数值计算较困难。

本文结合中国的实际情况，考虑到人口的巨大迁移数，将LESLIE 差分方程模型做了进一步推广，得到了某地区（主要考虑市，镇，乡）人口发展的差分方程模型，以男性为例：其中00(),(),(),i i i X t U t g t 分别是该地区第t 年i 岁男性人口的数量，死亡率，迁入率。

0()t φ是第t 年出生的男婴总数，由方程()()()()49015()[1]1[11]i i i i i t t k t X t Y t φαα==---+-∑决定，其中i α是第()1t -年平均每个妇女所生的孩子；()1i k t -是第()1t -年女性人数的比例；()1i Y t -是第()1t -年女性人数；()t α表示t 年女婴的比重；类似的可以得到了()()()()()()()()()0010010i i i i i o i X t X t U t X t g t X t t X P i φ+⎧+=-+⎪=⎨⎪=⎩女性的差分方程模型。

利用SPSS软件的自回归模型对()tα及各个参数进行了估计。

对出生率和死亡率通过随机变量期望法可以估计。

其它的参数也可以通过相应的办法得到估计。

利用所建立的差分方程，利用MATLAB和SPSS软件，我们获得了各地区各年龄段男，女人口的详细数据，在此基础上我们对数据进行了详细的分析和预测，研究了全国人口和各地区人口数量、性别比、老龄化、总和生育率、稳定性以及抚养比的分析和预测得到以下结论：全国人口数量开始持续增长，大约在年，达到最大值，然后持续下降，在年降到，在年里降到；全国人口男女性别比到年基本上保持在正常水平，但以后有显著性的变化；在年达到。

我国现在已经进入老年化社会，抚养比在年达到最大，约为，然后趋于平稳，其值约为；由人口的稳定性分析可知：从长远角度来说，如果现有政策不改变，人口结构趋于稳定。

通过对总和生育率的分析，农村的总和生育率为；城镇的总和生育率为；城市的总和生育率为；所以我国现阶段的总和生育率是偏低的。

关键字：差分方程、自回归、参数估计、加权平均、生育率、死亡率。

问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

问题分析一个社会（国家、省市、地区）人口的变化和随时间的发展过程，是由很多因素决定的，社会制度、自然环境、生活水平、科学文化水平、战争、自然灾害和移民等等，都能严重地影响社会人口的发展过程。

然而，婴儿的出生、人口的死亡、居民的迁移却是决定该社会人口变化的直接原因，近年来我国人口的发展出现一些新的特点，如老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，都直接或间接地通过这三个现象表现出来。

综合考虑这些因素成为构建符合我国国情的人口增长模型关键。

建立模型对人口发展过程进行定量预测，就是根据现有的人口统计资料和原始数据，从当前实际的人口状况出发，并对未来的人口发展过程，提出合理的控制要求和假定，应用科学的方法，预测出未来几年、几十年甚至上百年的人口发展趋势，包括人口总数、人口的性别、年龄和城乡结构，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成中劳力和抚养水平及老化水平等。

模型假设1、假设国际上的迁入迁出忽略不计；2、假设只有农村迁往镇和市没有市迁往镇和农村；3、假设农村迁入镇和市的比率由人根据实际情况假定即农村迁入城市的比率与镇的比率的比值是0.6：0.4；4、假设农村迁入城市的人口包括农民工、学生等各种类别的人，考虑其婚育状态等因素，我们认为大约有1/5的人口永远留在城市，称之为滞留系数；5、假设18岁以下迁入的人口占总迁入人口20%，18岁到35岁迁入的人口占总迁入人口的70%，35岁以后的迁入的人口占总迁入人口的10%；6、现行人口政策不变。

符号的说明模型的建立1、根据上述符号的意义，建立相应的差分方程，首先讨论男性： 由于第t +1年的男性是由第i 年的男性成长起来的，所以第t +1年i +1岁的男性人数=第t 年i 岁人数的男性人数-第t 年死亡的男性人数+第t 年迁入的i 岁男性人数，由此得到一个二元差分方程()()()()()()()0011i i i i i X t X t U t X t g t X t t φ+⎧+=-+⎪=其中i =0，1，2，90；0()t φ表示第t 年出生的男婴总数，它等于第t -1年的女性人数⨯第t -1年平均每个女性所生的孩子⨯男婴比例，即()()()()49015()[1]1[11]i i i i i t t k t X t Y t φαα==---+-∑决定，其中i α是第()1t -年平均每个妇女所生的孩子；()1i k t -是第()1t -年女性人数的比例；()1i Y t -是第()1t -年女性人数；()t α表示t 年女婴的比重。

同理，女性人口也可以建立相应的差分方程：()()()()()()()()()10010i i i i i i Y t Y t U t Y t g t Y t t Y P i φ+⎧+=-+⎪=⎨⎪=⎩ 其中i =0，1，2，90；()t φ表示第t 年出生的女婴总数，它等于第t -1年的女性人数⨯第t -1年平均每个女性所生的孩子⨯女婴比例，即()()()()4915()1[11]i i i i i t t k t X t Y t φαα==--+-∑其中i α是第()1t -年平均每个妇女所生的孩子；()1i k t -是第()1t -年女性人数的比例；()1i Y t -是第()1t -年女性人数；()t α表示t 年女婴的比重。

2、由t 年男性人口和女性人口可得某地区（如：城市、镇、农村）的某年龄人口总数()i Z t =()i X t +()i Y t ，其中()i Z t 表示第t 年i 岁的总人数，全国总人数()()90i i Z t Z t ==∑。

模型的求解1、 女婴占婴儿总数的比率()t α的估计由市男女出生比例，通过SPSS 的自回归可求出男婴的比率()t β关于时间t 的函数关系，此时()t β指女婴数为100时男婴的数量。

()t β=0.084t -55.886；()t α=1-()()100t t ββ+2、迁入和迁出函数()i g t 的估计由国家人口发展战略研究报告中的国家调控和管理报告可知按人口城镇化水平年均增长1个百分点测算，今后20年将有3亿农村人口陆续转化为城镇人口，从中国的实际国情出发，假设农村迁移人口的函数为幂函数，由于城市需求主要以劳动力为主，儿童、老年的比率偏小，我们称之为两边小中间大，并且由于中国传统习惯，随迁更可能是儿童而不是妇女，所以我们可以将年龄分为三段，其比例为2：7：1；()()()()()()()2221101312013130131;181;18351;35t t i t q q q q i g t q q q q i q q q q i ααα---⎧+<⎪⎪=+≤≤⎨⎪+>⎪⎩其中0q 为人口城镇化水平的年均增长比率即为0.01；1q 为滞留系数即为20%；2i q 为各年龄段迁入的比率()1,2,3i =；3q 为农村迁入城市的比率可以估计为0.6；从而可计算得α=1362万人。

3、 出生率设0j i N 表示第j 年i 岁的人口数；1j i P 表示第j 年i 岁生育的概率；1C 表示女性的生育率；1ij C 表示第j 年i 岁女性的生育率；i ch 表示i 岁的出生率；通过加权平均得1jiP =0501j ij ij N N=∑；i ch =5111j ij i j C P =∑；其中i =15，16，49；4、 死亡率设0j i N 表示第j 年i 岁的人口数；2j i P 表示第j 年i 岁死亡的概率；2C 表示女性的死亡率；2ij C 表示第j 年i 岁女性的死亡率；通过加权平均得2j iP =0501j ij ij N N=∑；i U =5221j ij i j C P =∑；其中i =0，1，90模型的分析一、 全国人口的分析与预测 加一个表格1、全国男性人口的变化趋势2、全国女性人口的变化趋势3、对农村人口进行预测分析4、对乡镇人口进行预测分析5、对城市人口进行预测分析6、对t年男女人数性别比的预测分析7、对农村男女性别比的分析8、对城镇男女性别比的分析9、对城市男女性别比的分析二、年龄结构预测与分析1、农村年龄结构2、乡镇年龄结构3、城市年龄结构4、老龄化预测与分析5、生育的分析6、稳定性分析7、人口抚养比8、总体分析与预测模型的推广与评价优点：1、预测数据比较完全，短期内与真实值接近，可信度好；2、用差分方程代替传统的微分方程来求解，简单方便；3、将不同性别分开考虑，增加了预测的精度；4、能对中短期的人口发展进行较好的预测；5、求解出生率和死亡率是利用数学期望（加权平均）而不是简单的求平均数；不足：1、各年龄人数的分布稳定性缺乏严格的逻辑证明，不够严密；2、迁移在各年龄中的分布过于简单，还可以用正太分布等进行改进；3、出生率、死亡率与时间的关系被忽略，对预测结果有一定的影响；模型的推广：该模型还可以用于生物种群的增长模型等。

参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊。

数学模型第三版，北京：高等教育出版社，1987[2]宋健，于景元。

人口控制理论，北京：科学出版社，1985[3]衷克定。