静力学(由高考到竞赛)陕西师大附中陈宏社一、一般物体的平衡1、共点力的平衡：1>共点力：几个力如果作用在物体的同一个点，或者它们的作用线相交于同一个点，这几个力叫做共点力。
2>例题分析：【例】如图所示，三个相同的支座上分别放着三个质量和直径都相等的光滑圆球α、b、c，支点P、Q在同一水平面上．α球的重心Oa位于球心，b球的重心Ob位于球心的正上方，C球的重心Oc位于球心的正下方．三个球都处于平衡状态．支点P对α球、b球、c球的弹力分别为Fa、Fb、Fc，则（A）A．Fa＝Fb＝Fc B．Fb＞Fa＞Fc C．Fb＜Fa＜Fc D．Fa＞Fb＝Fc 【例】重为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上,另一端系在一条水平绳上,杆与水平面成α角,如力对物体的作用可以改合力对物体的平动有影响合力矩对物体的转动有影响)0(=∑外F∑=)0(M图所示,已知水平绳中的张力大小F1,求地面对杆下端的作用力大小和方向.【【例】如图所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。
【例】重量为G 的一根均匀硬棒AB,杆A 端被绳吊起,在杆的另一端B 作用一个水平的拉力F,把杆拉向右边,使整个系统平衡后,棒与绳跟竖直方向夹角为?和?,如图所示,求证tan 2tan θα=【例】如图所示：一重为G 的绳子．它的两端挂在同一高度的两个挂钩上，绳的两端与水平线的夹角为θ，则绳的最低点处的张力为多大?【例】如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 是球心，碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m 1、m 2，当它们静止时，m 1、m 2与球心的连线跟水平面分别成60°30°角，则碗对两小球的A. 1∶ 1 C. 1 2 【练习】如图所示，BC两个小球均重G,用细线悬挂而静止于A、G两点，细线BC伸直.求:⑴AB和CD两根细线的拉力各多大？⑵细线BC与竖直方向的夹角是多大？【练习】如图所示，光滑半球壳直径为a，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平成60°角靠墙静止，求棒长．【练习】如图所示，在墙角处有一根质量为m的均匀绳，一端悬于天花板上的A点，另一端悬于竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C，测得绳长AC=2CB，且在B点附近的切线与竖直成α角，则绳在最低点C处的张力和在A处的张力各多大？【练习】如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数．2、转动平衡1>力矩(是改变物体转动状态的原因 )力的三要素是大小、方向和作用点。
由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。
力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂(d)定义：力与力臂的乘积称为力矩=?M d F通常规定:绕逆时方向转动的力矩为正。
当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和2>力偶和力偶矩一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。
力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。
对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩12M F d F d ==(其中d 为两力间的距离)【注】力偶矩与所相对的轴无关。
3>有固定转动轴物体的平衡有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。
【例】如图所示．梯子长为2l ,重量为G ，梯子上的人的重量为G ，人离梯子下端距离为h ，梯子与地面夹角为q ,梯子下端与地面间的摩擦因数为m ,梯子上端与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h 值．【例】—个半径为r 的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为?,如果在球上加一·个竖直向下的力F ，如图1-37所示．问；力F离球心的水平的距离s 为多大，才能使球做逆时针转动? 0M =å【例】如图所示．均匀杆L1和A 端用铰链固定在墙上，B端与L 2相接触，AB 水平，均质杆L 2的C 端也用铰链固定于C 点．与墙壁成30?角，两杆处于静止状态，L 1重10N ．L 2重5N ，求杆L 1的B 端受杆L 2的作用力大小．【练习】两杆A 和Ｂ一端放在光滑水平地板上，另一端均靠在光滑竖直墙上．两杆夹角为90?时平衡，如图1-30所示，杆长分别为a ，b ．杆重分别为G A ，和G B 。
，则两竖直墙间的距离d 为多少?【练习】如图所示，两个重力分别为G 1和G 2的小圆环用细线连着套在一个竖直固定的大圆环上，如果连线对圆心的夹角为?，当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时，求连线与竖直方向夹角?【练习】用20块质量均匀分布的相同光滑积木块,在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,已知每一积木块长度为L .横截面是边长为4L h 的正方形，要求此桥具有最大跨度(即桥孔底宽）,试画出桥的示意图,并计算跨度s 与桥孔高度H 的比值。
【练习】有一吊盘式杆秤，量程为10kg .现有一西瓜超过此秤量程，店员A 找到另一相同的秤跎．把它与原秤砣结在一起进行称量，平衡时，双砣位于6.5kg 刻度处．A 将此读数乘以2得13kg ，作为西瓜的质量.为了检验,他取另一西瓜．正常称量为8kg ，用砣称量读数为3kg ．乘以2后得6kg ，这证明A 的办法不可靠，试问，A 所称的那个西瓜的实际质量是多大? O C二、力学中常见的三种力1.重力、重心、质心物体的重心即重力的作用点。
在重力加速度g 为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。
【例】相距L ，质量分别为12,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，求解重心距两物体圆心的距离。
【注】①均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心；②求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。
物体重心（或质心）位置的求法【例】如图由重量分别为12,G G 的两均匀圆球和重量为3G 的均匀杆连成的系统，设立如图坐标系，原点取在A 球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为321,,x x x ，系统重心在P 点，我们现在求其坐标x 。
设想在P 处给一支持力F ，令123R G G G =++达到平衡时有：0332211=-++=∑Rx x G x G xG M 112233112233123G x G x G x G x G x G x x F G G G ++++?=++ 这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。
若有多个物体组成的系统，我们不难证明其重心位置为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∑∑∑∑∑Gi Giz z Gi Giy y Gi Gix x i一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∑∑∑∑∑∑i ii i i i i i i m z m z m y m y m x m x【练习】匀质球A 质量为M ，半径为R,匀质棒B 质量为m ，长度为L ，求它的重心【练习】求如图所示中重为G的匀均质板（阴影部分）的重心O的位置（面密度为s）。
【练习】如图，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为l，求其质心位置，若为n段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？【练习】如图所示，求图示均匀薄板的重心，大正方形的边长为a,挖去的小正方形的边长是大正方形的四分之一，一个顶点在大正方形的几何中心上，两正方形各对应边相互平行【练习】如图所示，A 、B原为两个相同的均质实心球，半径为R ，重量为G ，A 、B 球分别挖去半径为324R R 和的小球，均质杆重量为3564G ，长度4l R =，试求系统的重心位置。
2.巴普斯定理：质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积乘平面薄板重心通过和路程。
【例】求如图所示的直角三角形的质心【练】求均匀半圆盘的质心位置。
【推论】质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度乘曲线的重心通过路程。
【例】求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置【拓展】如果是封闭线呢？设线密度为l2、弹力1>弹力 物体发生弹性变形后，其内部原子相对位置改变，而对外部产生的宏观反作用力。
反映固体材料弹性性质的胡克定律，建立了胁强（应力）F s s =与胁变（应变l le D =）之间的正比例关系，如图所示εσE =式中E 为杨氏弹性模量，它表示将弹性杆拉长一倍时，横截面上所需的应力。
2>接触反力 —限制物体某些位移或运动的周围其它物体在接触处对物体的反作用力（以下简称反力）。
这种反力实质上是一种弹性力，常见如下几类：①柔索类（图）如绳索、皮带、链条等，其张力::T ìïïíïïî方位沿柔索指向拉物体一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长的。
滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质量，同一根绳内的张力处处相等。
②光滑面（图）接触处的切平面方位不受力，其法向支承力⎩⎨⎧压物体指向沿法线方位::N③光滑铰链：物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事先确定，这类接触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标分量形式设定。
（1）圆柱形铰链（图4,图15，图6）由两个圆孔和一个圆柱销组成。
在孔的轴线方向不承受作用力，其分力⎩⎨⎧待定指向轴沿方位::x X ⎩⎨⎧待定指向轴沿方位::y Y图中AC 杆受力如图，支座B 处为可动铰，水平方向不受约束，反力如图。
（2）球形铰链（图7,图8）由一个球碗和一个球头组成，其反力可分解为待定指向沿坐标轴方位::⎪⎭⎪⎬⎫Z Y X④固定端（图9，图10）如插入墙内的杆端，它除限制杆端移动外，还限制转动，需增添一个反力偶A M 。
待定指向沿坐标轴方位::⎭⎬⎫Y X⎩⎨⎧待定转向平面力系作用面方位::A M3>弹簧上的弹力：弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内，弹簧弹力的大小与形变量（伸长或压缩量）成正比。
F=-kx式中x 表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向相反；k 为劲度系数，由弹簧的材料，接触反力和几何尺寸决定。
弹簧的串并联：两根劲度系数分别为k 1，k 2的弹簧串联后的劲度系数为 k 1=11k +21k并联后劲度系数为 k =k 1+k 2.【例】题：两根劲度系数分别为K 1和K 2的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑的细线连接，把一光滑的轻滑轮放在细绳上，求当滑轮下挂一重为G的物体时，滑轮下降的距离？【例】如图所示,劲度系数为k2的轻弹簧乙竖直固定在桌面上,上端连一质量为m的物块;另一劲度系数为k1的轻弹簧甲固定在物块上.现将弹簧甲的上端A缓慢2mg时,求向上提,当提到乙弹簧的弹力大小恰好等于3A点上提的高度?3、摩擦力—摩擦角摩擦力：物体与物体接触时，在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用力称为摩擦力。