则 f (x) g(x) (5) 单位元:1 f (x) f (x)
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Байду номын сангаас
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带余除法
定理2.1.1（带余除法）设 f(x)和 g(x)是数域 F 上的多项式， 且 g(x) ≠0，则必存在多项式 q(x)和 r(x) ，使得
f ( x) q( x)g( x) r( x)
并且q(x)和 r(x)是唯一的， 其中deg r( x) deg g( x) 或 r( x) 0 若r(x)=0，则称 g(x)是 f(x)的因式， f(x)是 g(x)的倍式， 也称 g(x)能整除 f(x)，并记作 g(x)| f(x)。
(4) 单位元？？:1f (x) f (x)
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多项式乘法
f (x)g(x)
anbm xnm (anbm1 an1bm ) x nm1
mn
ai
bj
xk
k o i jk
(a1b0 a0b1 )x a0b0
其中k 次项的系数是
ak b0 ak1b1 a1bk1 a0bk
问题：存储空间有限，文件如何化简？
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将存储空间的0-1看成一个矩阵，进行矩阵的化简
矩阵化简的种类：
矩阵合同：对n阶方阵A和B，如果存在可逆矩 阵C满足B=CTAC，就称矩阵A和B 合同。
矩阵等价：对矩阵A和B，如果矩阵B可以经 过一系列初等变换化为A，就称矩阵A和B 合 等价 。
矩阵相似： n阶方阵A和B，如果存在可逆矩 阵C满足B=C-1AC，就称矩阵A和B相似。
若 an 0, 则称 an xn 为 f ( x) 的首项，an为首项系数， n 称为 f (x)的次数，记作 deg f (x) 或 f (x). 零多项式次数定义为 0.
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多项式加法
为了方便起见，设 n m, bn bm1 0
f (x) g(x)
(an bn ) xn (an1 bn1 ) xn1
ai bj
i jk
deg( f ( x)g( x)) deg f ( x) deg g( x)
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运算规律:
(1) 交换律：f (x)g(x) g(x) f (x) (2) 结合律: ( f (x)g(x))h(x) f (x)(g(x)h(x))
(3) 分配律: f (x)(g(x)h(x)) f (x)g(x) f (x)h(x) (4) 消去律：若 f ( x)h( x) g( x)h( x), h( x) 0
4x4 10x3 8x2 8x3 14x2 5x 9 8x3 20x2 16x 6x2 11x 9
6x2 15x 12 4x 3
f ( x) q( x)g( x) r( x)
q( x) 2x2 4x 3 r( x) 3x 3
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2.2 因式分解定理
定义. 设 f ( x) , g( x)，h( x) F[x] 若h(x)既是 f(x)的因式，又是 g(x)的因式， 则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公因式。 若h(x)既是 f(x)的倍式，又是 g(x)的倍式， 则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公倍式。
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定义. 设 f (x) , g( x) F[x]
f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0 g( x) bm xm bm1 xm1 b1 x b0 若其同次项的系数都相等，即 ai bi , i 0
则称 f(x)与 g(x)相等，记作 f(x)= g(x)。
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设 f ( x) , g( x), d( x) F[x] ，并且满足: (1) d( x)是 f ( x)与 g( x)的公因式； (2) f ( x)与 g( x)的公因式都是d( x)的因式；
则称 d(x)为 f(x)和 g(x) 的一个最大公因式。
设 f (x) , g( x), d(x) F[x] ，并且满足: (1) d( x)是 f ( x)与 g( x)的公倍式； (2) f ( x)与g( x)的公倍式都是d( x)的倍式；
则称 d(x)为 f(x)和 g(x) 的一个最小公倍式。
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定理2.2.1 设 f ( x) , g( x) F[x], 则存在 d( x) F[x], 使得d(x)是 f(x)和 g(x)的一个最大公因式， 并且 d( x) u( x) f ( x) v( x)g( x), 其中 u( x), v( x) F[x].
复系数多项式的因式分解定理：
次数不小于1的复系数多项式在复数域上 可唯一地分解成一次因式的乘积。
复系数多项式 f ( x) an xn an1 xn1 a0 的 标准分解式为
f ( x) an ( x r1 )n1 ( x r2 )n2 ( x rk )ns 其中 n是i 正整数，且 n1 n2 ns n
(2) 第 i 行 (列)乘以非零数 k , 记作 ri k (ci k)
(3) 第 i 行(列)加上第 j 行(列)的 k(l ) 倍,
记作 ri k(l )rj (ci k(l )c j ) 其中 k(l )为 l 的多项式。
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l 矩阵的等价
定义: 若l 矩阵 A(l) 经过若干次初等变换变为B(l)， 则称 A(l)与B(l) 等价，记作 A(l) ~ B(l)
其中 ci , i 1, 2为, 非, 零s 常数。
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分解式
f
(
x)
ap1r1
(
x)
p r2 2
(
x)
p rs s
(
x
)
称为标准分解式。 其中a 是 f(x)的首项系数， pi ( x) 是首项系数为１的 不可约多项式，而 ri是正整数 (i 1, 2, , s)
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因式分解定理
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2.3 矩阵化简
文件在计算机中存储方式：二进制代码
特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等） 黑白：0-1矩阵，如分辨率为1024*980的一张黑白 照片，占用空间为1024*980*1/8= 122.5kb 。
彩色：三基色（红、绿、蓝）理论，每一种颜色
分级为0-255，一个像素占用1*3个字节，全为0 表示黑色，全为255表示白色； 如分辨率为1024*980的一张彩色照片，占用空间 为1024*980*8*3/8= 2940 kb。
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例2.1.1设 f(x)和 g(x) 是有理数域 F上的两个多项式 f ( x) 4x4 2x3 6x2 5x 9, g(x) 2x2 5x 4
求满足等式 f ( x) q( x)g( x) r( x) 的多项式 q( x), r( x)
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2x2 4x 3 2x2 5x 4 4x4 2x3 6x2 5x 9
2 矩阵的标准型
目录
2.1 一元多项式 2.2 因式分解定理 2.3 矩阵化简
2.4 l 阵的标准形
2.5 矩阵相似的条件 2.6 矩阵的若当标准形 2.7 矩阵的最小多项式
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2.1 一元多项式
定义.设 n 是一个非负整数，表达式
an x n an1 x n1 a1 x a0 称为数域 F上的一元多项式， 其中 a0，a1，, an F 特别地，0 称为零多项式. F[x] { f ( x) | f ( x)是数域 F上的一元多项式}
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矩阵的相似是利用最多的一种方式
一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有n （原矩阵阶数）个线性无关的特征向量。
不是所有的矩阵相似于对角矩阵，如
A
1 0
1 1
问题：不能相似于对角矩阵的方阵相似最简 单情况是什么？
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2.4 l 阵的标准形
定义. 元素是 l 的多项式的矩阵称为l 矩阵，记作A(l )
n
(ai bi )xi i0
(a1 b1 )x (a0 b0 )
deg( f ( x) g( x)) max{deg f ( x),deg g( x)}
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运算规律:
(1) 交换律：f (x) g(x) g(x) f (x) (2) 结合律: ( f (x) g(x))h(x) f (x)(g(x)h(x)) (3) 零元素：f ( x) 0 f ( x) (4) 负元素: f (x)( f (x))0
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实系数多项式的因式分解定理：
次数不小于1的实系数多项式在实数域上
可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。
实系数多项式 f ( x) an xn an1 xn1 标准分解式为
a0 的
f ( x) an ( x r1 )n1 ( x rs )ns ( x2 p1 x q1 )m1 ( x2 pt x qt )mt
A(l)B(l) B(l)A(l) E
称 A(l )为可逆的l 矩阵，且B(l )为A(l )的逆。
显然， A(l )可逆 | A(l ) | 为非零常数。
说明： l 矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系
（向下兼容性）。
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定义. l 矩阵的初等变换
(1) 对调 i, j 两行(列)，记作 ri rj (ci c j )
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数乘多项式
kf ( x) kan xn kan1 xn1
n
kai xi i0
运算规律:
ka1 x ka0
(1) 结合律：(l) f (x)l( f (x))
(2) 分配律: (l ) f (x)lf (x) f (x)
(3) 分配律：l( f ( x) g( x)) l f ( x) l g( x)