En 1 n 0*H ˆ n 0d
En 2
l
'E H n 0ln -H E ln (0)ll
'En H 0n -E 2ll0
H'nm n 0*H ˆm 0d
实际应用：案例（习题集二、25-27）
例转1动P惯18量0求为电I、介电质偶的极极矩化为率D 。的空间转子处在均匀电场中的
能量。
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五个基本假设
• 公设一：量子力学对物质系统的描述方式。微观体系的运动状 态由相应的波函数(r,t)完全描述，归一化的波函数是几率波 振幅；
• 公设二：量子力学对物质系统的运动状态规律。微观体系的运 动状态波函数(r,t)随时间变化的规律遵从薛定谔方程；
• 公设三：量子力学对物质系统的力学量的描述方式。微观体系 的力学量由相应的线性厄米算符表示。基本对应关系是： x ，p 。完全确定一个系统的状态需要一组完全的力 学量集合，代表它们的算符两两对易；
问题。O r * r r,tO ˆ rr r,td r r=c n2n n
如：1.用直接积分法和周期性边界条件求轨道
角动量的
Lˆz
i
Z分量算符的本征值和本
征态，并求本征态的归一化常数。2.无限深势
阱波函数。
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表象问题
比如：
Fmn mFˆ n
F11
F21
Fn1
F12 F22
• 公设四：量子力学对物质系统的力学量的确定方法。它们之间 有确定的对易关系（称为量子条件），因此力学量算符由其相 应的量子条件确定；
• 公设五：量子力学对全同多粒子系统的波函数的特点。全同的 多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性， 玻色子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 返回
（5）说出原子中的电子从状态Φm跃迁到状态Φn所必须满足的 条件，该条件与原子的光谱谱线有什么关系？
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简述题
（1）论述全同性原理的内容以及全同粒 子体系的波函数的特点，同时说明费米子 体系的波函数和玻色子体系的波函数的主 要差别。 （2）试简述量子力学的五个基本假设。 （3）论述量子力学中体系所满足的态叠 加原理的内容。 （4）试简述泡利不相容原理。
第九章：全同粒子、费米子、玻色子、对称波函数、反对称波函数、 全同性原理、泡利不相容原理。
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物质波
已知hc =1.24nm·keV，电子质量 me=9.10908×10-31千克，h=6.62559×10-34焦克 ·秒，回答： （1）电子显微镜跟光学显微镜相比，谁的放大 率高？
（2）如果需要观测一个大小为0.5Å的物体，可 用的光子的最小能量是多少电子伏？
F1n a1 a1
a2 a2
Fnn aF1n
F21 F22
0
Fn1
Fnn
FSF SS1FS
bS1a或 者 a=Sb
寻找幺正变换矩阵
把求得的本征函数按列写成矩阵形式
1 2
1 ei
2 1
ei 1
令该矩阵为变换矩阵S，便可将算符从A表象的 表示变换为自身的表象中的表示。
综合问题
比如： 设粒子原来处在 0xa的一维无限深势阱中的基态， 在t=0时阱壁 xa突然运动到 x2a 处，此后粒子 处于新势阱中，求它处于新系统中的第二激发态的 几率。 如：氢原子的波函数
习题集（二、21-24） 23-24讲案例例3
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1 ei ei
S
2
1
1
表象问题例题
• 已知在 Sˆ z 表象中，算符 Sˆ x 的表示为：
h 0 1
Sx
2
1
0
求它的本征值和本征函数，并将它对角化。
又如：
Sˆ y
h 2
0
i
i
0
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微扰问题
比如：
EnEn0Hn
nψ mn'E ψ H nn 0 0n -E m m 20m En H 0-m E m 0nψm 0
证明题
比如： 1.假设某厄米算符Â的本征函数Φm(m=1，2， 3，…)非简并，本征值λm分立，证明本征函 数满足正交归一性：∫Φm*Φndτ=δmn。
2.证明：x ˆp ˆxp ˆxx ˆih ，并说明量子力学中 所存在的不确定关系的原因。
3.厄米算符的本征值是实数。
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本征问题
比如：无限深势阱波函数、能量；谐振子能 量；氢原子波函数、能量。求平均值和几率
（2）什么叫作定态？写出定态波函数所满足的定态薛定谔方 程的形式。定态中几率密度和几率流密度与时间有关吗？
（3）一维线性谐振子的振动频率为ω，其零点能是量子力学中 所 及特它有的而 能在级旧公量式子En论。中所没有的，写出该零点能E0的大小，以
（4）什么叫作量子力学中态和力学量的表象？力学量算符在 自身表象中的矩阵具有什么特点？矩阵元与它的本征值有何关 系？
第三章：力学量、平均值、算符、厄米算符、本征值、本征函数、 正交归一、 完备封闭性、对易、不确定性原理。
第四章：表象、动量表象、能量表象、共轭矩阵、对角矩阵、幺正 变换、基矢、狄拉克符号
第五章：微扰、定态微扰、跃迁概率、零级波函数和零级能量、能 量一级修正、能量二级修正、微扰矩阵
第六章：自旋角动量、自旋算符、泡利算符、泡利矩阵、自旋单态、 自旋三重态、耦合表象、无耦合表象
（３）考虑非相对论情形，利用德布罗意波关系 式，若把光子变为电子，电子的最小能量是多少 电子伏？
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简答题
（1）由于动量算符的本征值连续，所对应的本征函数不能归 一化为1，但是可以归一化为δ函数。写出自由粒子的按照箱归 一化的德布罗意波的数学形式。并说明波函数所满足的三个标 准条件以及波函数的统计解释。
第27讲 总复习
概念理解题 简答题 简述题 知识点证明题 本征问题 表象问题 微扰问题 综合问题
结束
概念理解题
第一章：量子、波粒二象性（物质波）
第二章：波函数（态函数）、状态、几率、几率密度、几率流密度、 态叠加、薛定谔方程、平面波函数、定态、简并、简并度、一维无 限深势阱、一维线性谐振子、隧道效应、势垒贯穿。