高二期末复习数列知识点复习小结
一、数列定义：
数列是按照_____________排列的一列数，是定义在正整数集*
N （或它的有限子集
},,3,2,1{n ）上的函数)(n f ，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列
函数值为 ),2(),1(f f ； 通常用n a 代替)(n f ，于是数列的一般形式常记为___________或简记为_________，其中n a 表示数列}{n a 的_________。
注意：（1）}{n a 与n a 是不同的概念，}{n a 表示_________，而n a 表示的是_________；
（2）n a 和n S 之间的关系：⎩⎨
⎧≥==)
2(__________)
1(__________n n a n
名称 等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的______等于同一个常数，这
个数列就叫等差数列
如果一个数列从_________起，每一项与它的前一项的_____等于同一个常数，这
个数列就叫做等比数列
递推公式 )2,(*1≥∈=--n N n d a a n n
q a a n n 1-=)2,(*≥∈n N n
通项公式
=n a _____________ =n a ___________
求和公式
=n S __________________
=__________________
⎪⎩
⎪⎨⎧=________________________n S
等差（比）中项 任意两个数b a ,有且只有一个等差中
项，即为A=___________；两个数的等差
中项就是这两个数的算术平均数。
两个数b a ,的等比中项为G （满足
=2G ___________，0>ab ）
三个数设法
若三个成等差数列，可设它们为_______,_______,_______
若三个成等比数列，可设它们为
_______,_______,_______ 等差（比）
数列的性质
m n n a a a a -+=+=+_________21
中a 2==
m n n a a a a -⋅=⋅=⋅_________21
2
中a ==
若q p n m +=+， 则n m a a +=__________；
若q p n m +=+， 则n m a a ⋅=_________；
在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列
在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列
等差数列{}n a 中，它的前n 项和
232n n n n n S S S S S --，，……
仍为等差
数列，公差为d n 2
等比数列{}n a 中，它的前n 项和
232n n n n n S S S S S --，，……仍为等
比数列,公比为n q .
若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，则
}{n n kb ma +仍为等差数列，公差为
_______ ；
若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，则
}{n n b ma 仍为等比数列，公比为 ；
}{
n
n
b ma 仍为等比数列，公比为 _ ； 常用技巧：
（1）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则
21
21
m m m m a S b T --= （2）在等差数列中n S 的最值可求二次函数2
n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、
负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.
当100a d <>，，由10
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.
(3)项数为偶数n 2的等差数列{}
n a ，
有 nd S S =-奇偶，
1
+=
n n
a a S S 偶
奇, （4）项数为奇数12-n 的等差数列{}
n a ，
有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，
n a S S =-偶奇，
1
-=n n S S 偶
奇. 三、判定方法：
（1）等差数列的判定方法：
①定义法：________________________}{n a ⇔是等差数列 ②中项公式法：________________________}{n a ⇔是等差数列 ③通项公式法：________________________}{n a ⇔是等差数列
④前n 项和公式法：________________________}{n a ⇔是等差数列 （2）等比数列的判定方法：
①定义法：________________________}{n a ⇔是等比数列 ②中项公式法：________________________}{n a ⇔是等比数列 ③通项公式法：________________________}{n a ⇔是等比数列 ④前n 项和公式法：________________________}{n a ⇔是等差数列
四、数列的通项求法：
（1）观察法：
（2）已知n S 求n a ：⎩⎨
⎧≥==)
2(__________)
1(__________n n a n ，例如
①已知1532
++=n n S n ，求n a =_________；②已知}{n a 中， n n a S 23+=，求n a =________
③已知}{n a 中，)2(1
22,12
1≥-==n S S a a n n n ，求n a =__________
（3）公式法：递推式为d a a n n +=+1及n n qa a =+1（q d ,为常数）直接运用等差（比）数列通项公式
（4）累加法：递推式为)(1n f a a n n +=+
由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用累加法
如：数列{}n a 中，()1
1113
2n n n a a a n --==+≥，，求n
a =_____________
（5）累乘法：递推式为n n a n f a )(1=+
如：已知}{n a 中21=a ，n n a n
n a 1
1+=
+，求n a =__________ （6）待定系数法：递推式为q pa a n n +=+1（q p ,为常数）： 设)()(1t a p t a n n +=++，得到q t pt =-，1-=
p q t ，则}1
{-+
p q
a n 为等比数列。
如：已知52,111+==+n n a a a ，求n a =___________
（7）转化法：递推式为n n n q pa a +=+1（q p ,为常数）： 两边同时除去1
+n q 得
q q a q p q a n n n n 111+⋅=++，令n
n n q
a b =，转化为q b q p b n n 1
1+=+，再用（6）法解决。
如：已知}{n a 中，6
5
1=
a ，11)21(31+++=n n n a a ，求n a =_____________
（8）倒数法；如：11212
n n n a a a a +==+，，求n a =______________ 五、数列的求和法：
（1）公式法：
①等差（比）数列前n 项和公式 ②=++++n 321__________； ③6
)
12)(1(3212222++=
++++n n n n ； ④23333]2)1([321+=++++n n n
（2）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
如：已知2
2()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ __ （3）并项法：如：求100994321100-++-+-= S =________
（4）分组求和法：如：在数列}{n a 中，1210-+=n a n
n ，求n S =_________
（5）错位相减法：若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）
前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.
如：求和：n
nx x x x S ++++= 3
2
32=______________
（6）裂项相消法：裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，
留下有限项，从而求出数列的前n 项和。
如通项公式为=+=
)
1(1
n n a n ；=++=
n
n a n 11 ；
如：①=+⨯++⨯+⨯+⨯=
)1(1431321211n n S ； ②=+⨯++⨯+⨯=
)
2(1
421311n n S ； ③若1
1++=
n n a n ，则=n S ；
六、数列问题的解题应注意要点：
①在等比数列中，用前n 项和公式时，要对公比q 进行讨论；只有q ≠1 时才能用前n 项和公
式，q=1时11na S =
②已知n S 求n a 时，要对2,1≥=n n 进行讨论；最后看1a 满足不满足)2(≥n a n ，若满足n a 中的n 扩展到*
N ，不满足分段写成n a。