3.7 反函数【高教版中职（基
础）数学第一册第三章 3.7“反函数”第一节】
一、教材与学生的数学现实分析
1．现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基
本的概念之一。
映射也是日常生活中许多现象的抽象，中学生学习映射的概念. 有多方面的用处，本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念，给出了反函数的求法，与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质容易理解，反函数的求法
严谨且易于掌握。
所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历
将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程，感受知识的形成与发展规律
是至关重要的。
2．此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质，
对于理论性的研究有了初步的尝试，有了一定得分析、对比、抽象概括的能力，但
毕竟以前接触的函数等知识较为简单，而反函数的知识较为抽象，因此本节的设计
更加具体、细致、突出学生的主动认知性。
3．考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。
所以本节应用两个较简单
的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系，
又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的情绪有所转化，激发他们
的学习兴趣，进一步培养他们的学习能力。
通过以上分析，可得出：
1）学习重点和难点：重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。
2）教学方法：引导类比探索法，从具体到抽象，让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程，展开学生的思维，培养学生抽象概括能力。
3 ）教学工具：多媒体教学
二、教学目标
知识目标：（1）对反函数概念的理解。
（2）给定函数的反函数的求法。
能力目标：让学生亲自体验知识的形成过程，加深对知识及其内在联系的理解，并进一步强化映射、函数知识的应用。
培养学生的逻辑推理、逆向思维、
发散思维、综合归纳的能力。
情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。
（2）在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。
三、教学过程
教学过程设计说明
问题：函数y = 3x 与函数y = 1
3
x 的对应法则有映射的对应
什关系？法则是学生以前
学习过且重点讲
述的的问题，所创（教师问学生：要解决这个问题我们必须应用什么以，问题如此提设知识呢？我们不妨亲自尝试列举一下，通过你列举的结果出使原本抽象的问来判断这两个函数之间的关系）反函数引入问题题简单化，既复习情旧知识又使学生境对本节产生兴趣
学生自主思考、讨论，体会知识的产生及形成过程，数学的新旧知进而把握概念的实质。
教师可根据实质情况进行必要的思识之间有非常紧维点拨，使学生全面、准确的得到：密的联系，教师
y = 3x y = 1
3
x 要引导学生用旧
学把-1 对应到-3 把-3 对应到-1 知识发现新问题把1 对应到 3 把3 对应到 1 产生新需要，要
生把2 对应到 6 把6 对应到 2 给学生留有充分,, ,, 的思维空间，启自把a 对应到 b = 3a 把b = 3a 对应到 a 发学生从问题出
发，联系有关知
主函数y = 3x 与y = 1
3
x 的对应法则正好是相反的：识（映射、函数）
y = 3x 把a 对应到 b = 3a 从不同角度、不
探y = 1
3
x 把b = 3a 对应到 a. 同方面认识问题。
很自然地可以把y = 1
3
x 叫做y = 3x 的反函数，也可以用对比的方法得
索把y = 3x 叫做y = 1
3
x 的反函数，他们互为反函数。
到两个特殊函数
那么简要概述以上过程，同学门可以形象的表示为：的映射关系，再和用一般字母 a 和
教学过程设计说明
R y=3x R b 统一表示，充
研分反映了两个函
a b=3a
数的特殊对应关
系，同时映射的
究y= 1
3
x 引入，又使学生积
极主动的参与
突出了知识的
形成过程。
函数y = 3x 的定义域为R1，值域为R2，既在R1 中数学概念的形成辩每一个元素a，在R2 中只有一个元素 b , 使得b=3a, 离不开抽象与概括，
析而函数y = 1
3
x 又告诉我们在R2 中每一个元素b，因此要让学生亲自
在R1 中只有一个元素a, 使得 b = 3a, 经历由具体到抽象，
研把b 对应到 a 的映射y= 1
3
x 称为映射y = 3x 的反概括事物本质属性
讨数。
的过程，以培养学所以，想要寻找到函数y = 3x 的反函数，关键的生形成数学概念的问题是要看在R2 中每一个元素b，在R1 中只有一个元概括能力，教师要
与素a 形成R2 到R2 的映射，若有，则此映射既为原函数根据情况决定介入的反函数。
程度，使概念完整
抽通过对函数y = 1
3
x 、y = 3x 的研究、探讨，同学的展现在学生面前。
象们自然会考虑到一般的反函数的定义：另外，这种讲解方一般的，设函数y =f (x) 的定义域为A，值域为B。
法，把反函数概念如果对于B中的每一个元素b，在 A 中只有一个元素 a 的本质清晰的揭示使得f(a) = b, 那么把 b 对应到 a 的映射称为y=f(x) 的出来，使学生能直
概反函数，记作y = f -1 ( x ) 观的、朴素的认识
A y=f(x)
B 到有反函数的条件。
括 A
a b
-1
y = f ( x )
1）从定义得的出过程可以看出：如果函数y = f(x) 反思有利于学生有反函数，那么对思维过程的自我
反y = f (x) 的值域 B 是反函数y = f -1 (x) 的定义域，认识和自我控制，y = f(x) 的定义域 A 是反函数y = f -1 (x) 的值域形成良好的知识思 f (a) = b , a ∈A f -1 (b) = a , b ∈B结构，从而促进新
2）如果函数y = f(x) 有反函数y = f -1(x) ，那么的思维角度、思维与y = f -1 (x) 也有反函数，并且y =f -1 (x) 的反函数就是形式的变换和更新y = f (x) ，称他们互为反函数。
使学生的思维能力
评3 ）不是每一个函数都有反函数，让学生讨论函数认知方式得到优化。
y = x 2 有没有反函数，
价得出：没有，理由是：对于y = x 2 的值域R的一
个元素4，在定义域R中有两个元素 2 和-2 ，使得： a
2 2 = 4 ，（-2 ）2 = 4
这与反函数的定义不符
创问题：求下列函数的反函数：问题的设置又
设 1 ）y = 2x + 1 一次让学生明确
问 2 ）y = x 求得函数反函数
题 3 ）y = 3x
x
1
1
的逻辑思维过程，
情这是整节课始终
境观察分析这三个函数的特点，对求对数函数的过贯穿的用映射中
程进行讨论：的对应法则来解
释反函数，求得
反函数。
让学生充分的思考、讨论，并联系反函数定义的得出要给学生留有过程探求问题的解决途径，可得到：充分的时间进行首先要知道原函数y=f(x) 的值域；才能判断出所求思考相互之间也
思出的函数是不是反函数（因为反函数必须是对于y=f(x) 可以进行讨论，使的值域中每一个元素b，都有y=(x) 的定义域中唯一的学生有逻辑性的寻
考一个元素 a 与它对应）. 既先求出值域再求出反函数。
找求反函数的过程（书写求得反函数的过程，又完全符合前面我们分析教师要引导学生依求得反函数定义的过程）据反函数的定义域
如：（解例一和三）得出过程来寻找，
教学过程设计说明
探并注意函数 a 对应练习题作业：或课外作业
b ，而反函数 b 对
（1）y=2x-5
究应a 的关系。
学生观察力
1
(2) y=
辩x 的培养是不可忽
视的，教师要启
(3) y=
析发同学观察、分析
x 1
析，寻找特征，归
纳解答方法。
引导学生反思本节课整个的学习过程，使它们从反思有利于学知识、方法、能力三个维度上得到如下认识：生进一步搞清知识反 1 ）本节我们很好的利用映射中对应法则引入了的产生及形成过程，两个特殊的函数，通过对比寻找它们对应法则的关系，掌握获取知识的方思很自然的引入了反函数的概念，揭示了反函数概念的本法，提高学生分析质，也为后来求得函数的反函数过程做好相应的铺垫。
问题、解决问题的与 2 ）找反函数概念的过程，应用于实际问题中求能力，以形成良好函数的反函数，既巩固了概念，又深化了对概念的的认知结构
评理解，也感受了具体求反函数方法的科学性、重要性。
3 ）在学习得到和运用新概念的过程中，我们的
价收获不仅是知识，更重要的是认识知识的过程，类比
转化的思想是学习数学的重要思想。
4）引导学生反思与评价在本节课的学习活动中，
我们得到了互为反函数的两个函数，那么它们的图像
之间又有什么关系呢？（课下完成以下实验）
课外实验：
在一张薄的白纸上画一个直角坐标系Oxy，然后为下一节课做铺画出函数y=3x 的图像l 1, 和y=3x 的图像l 2, 再画出垫，引出互为反函直线y=x. 将白纸沿直线y=x 折叠，观察l 1 与l 2 是数的两个函数图像否完全重合？之间的关系。