c. 梁全跨布满梯形荷载的特解项


q 1 3 2 ( x - xa ) xb - xa 4 q 1 2 3 ( x - xa ) xb - xa 2
当 x xb 时，积分限是 [ xa , xb ] ，
q 1 yq k ( x x ) ( xb xa )1 ( x xb ) 2 2 ( x xb ) 2 ( x xa ) b a q 1 1 ( x xb ) 1 ( x xa ) q ( xb xa ) 4 ( x xb ) k ( xb xa ) 2 q 1 M ( xb xa ) 3 ( x xb ) 4 ( x xb ) 4 ( x xa ) q 2 2 ( xb xa ) 2 q 1 Qq ( xb xa ) 2 ( x xb ) 3 ( x xb ) 3 ( x xa ) 2 ( xb xa ) 2
由A点的变形连续条件和受力情况有：
y A1 A1 M A1 0, QA1 pi
当 x ≥ x p时， y P Pi

p bk 1 M P - Pi 2 ( x - x p ) 2
4 ( x - x
)
2 2 P Pi 3 ( x - x p ) bk QP - Pi1 ( x - x p )
第3章 弹性地基梁理论
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式 及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基
MA=0 θ0=0 y0=0
θA=0 yA=0 θA=0 yA=0
M0 Q0
M0 Q0
弹 性 固 定 端
y0=0
yA=0
θ0=M0β0 M0 Q0
弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解
集中荷载作用下的特解项 a. 集中力Pi作用下的特解项
OA和AB段挠曲微分方程分别为：
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； 由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； 地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
微段上荷载引起的挠度附加项为：
yq ∫ x
x
qu
bk
a
4 ( x -u ) du
三角形荷载作用于地基梁
当 xa x xb 时，积分限是 [ xa , x ] ，
y q q M q Q q q 1 ( x - xa ) 2 ( x - xa ) k ( xb - xa ) 2 q 1 1 1 ( x - xa ) xb - xa bk

Q
M
x0 x0
Q0
得到积分常数： B1 y0
1 1 0 3 Q0 2 4 EI 1 1 B3 0 3 Q0 2 4 EI 1 B4 2 M 0 2 EI B2
其中： 4
kb 4EI
用初参数表示的齐次微分方程的解：
1 2 2 y y01 0 2 M0 3 Q0 4 2 bk bk 2 3 2 2 y04 01 M 0 4 Q0 3 bk bk bk bk 1 M y0 3 0 3 4 M 01 Q0 2 2 2 4 2 bk bk Q y0 2 0 2 3 M 04 Q01 2 2
d 4 y1 4 4 y1 0 dx4
d 4 y2 4 4 y2 0 dx'4
集中力作用于地基梁
1 2 2 y1 y01 0 2 - M0 3 - Q0 4 2 bk bk
y2 y1 y P
d 4 y P 4 4 y P 0 dx'4 1 2 2 y p y A11 ( x x p ) A1 2 ( x x p ) M A1 3 ( x x p ) Q A1 4 ( x x p ) 2 bk bk
初参数解
初参数法
y B1chax cos ax B2 chax sinax B3 shax cos ax B4 shax sinax
a[ B1 (chax sinax shax cos ax) B2 (chax cos ax shax sinax)
B3 ( shax sinax chax cos ax) B4 ( shax cos ax chax sinax)]
梁是无穷多次超静定结构。 普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
p 温克尔假设： y k 把地基模拟为刚性 支座上一系列独立 的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
dM d3y Q EI 3 dx dx
代入化简得到挠曲微分方程：
d y EI 4 ky q( x ) dx
4
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q( x ) 0 ，得到对应齐次微分方程：
通解为：
d4y EI 4 ky 0 dx
y e ax A1 cos x A2 sinx e ax A3 cos x A4 sinx
实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 弹性地基梁 自 由 端 已知初参数 A端边界条件 待求初参数
M0=0 Q0=0 MA=0 QA=0
θ0 y0 θ0 y0
M0=-m Q0=-P1 M0=0 y0=0
MA=0 QA=P2 MA=0 yA=0
简 支 端
θ0 Q0 θ0 Q0
M0=m1 y0=0








当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有：
q 1 y q x 2 kbl 2 q 1 1 q kbl M - q q 4 4 3 l Q - q 3 q 2 2 l
B3 (chax cos ax shax sinax) B4 (chax sinax shax cos ax)
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y
x0 x0
y0 0 M0
弹性地基梁作用的初参数


xa x xb
（积分限 [ xa , x ]）
x xb
（积分限 [ xa , x b ]）
q yq bk 1 ( x - xb ) - 1 ( x - xa ) - 2 q 4 ( x - x b ) - 4 ( x - x a ) bk M q q 3 ( x - x b ) - 3 ( x - x a ) 2 2 q Qq 2 ( x - xb ) - 2 ( x - xa ) 2
M 2 EI 2 ( B1shax sinax B2 shax cos ax B3chax sinax B 4 chax cos ax)
Q 2 EI 3[ B1 (chax sinax shax cos ax) B2 (chax cos ax shax sinax)
分布荷载作用于地基梁
a. 均布荷载
荷载均布与ab段
q yq bk 1 - 1 ( x - xa ) 2 q bk 4 ( x - xa ) M - q q 2 ( x - x a ) 2 2 q Qq 2 ( x - xa ) 2
其中： 1 chax cos ax
2 chax sinax shax cos ax 3 shax sinax 4 chax sinax shax cos ax
微分关系为：
d1 4 d d 2 21 d d 3 2 d d 4 23 d
当
x xm
时，取特解项为零。
分布荷载作用下的特解项
分布荷载可分解成多个集中力， 按集中力求解特项。
荷载在右边截面x处引起的挠度特解项为：
aqdu dy 2 4 ( x -u ) bk
x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为：
x aq y q 4 ( x -u ) du xa bk






当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有：
q yq bk 1 - 1 2 q bk 4 M - q q 3 2 2 q Qq 2 2
b. 三角形分布荷载
u - xa q u q xb - xa
ax e ax 利用双曲函数关系： chax shax, e chax shax
1 1 A1 ( B1 B2 ), A2 ( B2 B3 ) 2 且令： 2 1 1 A3 ( B1 B2 ), A4 ( B2 B4 ) 2 2
得到另一通解：
y B1chax cos ax B2chax sinax B3 sha cos ax B4 shax sinax