1自适应滤波器简介最早人们根据生物能以各种有效的方式适应生存环境从而使生命力变强的特性引伸出自适应这个概念。
自适应滤波器属于现代滤波器的范畴，它是40年代发展起来的自适应信号处理领域的一个重要应用。
60年代，美国B.Windrow和Hoff首先提出了主要应用于随机信号处理的自适应滤波器算法，从而奠定自适应滤波器的发展。
所谓自适应滤波器，即利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号与噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。
自适应信号处理主要是研究结构可变或可调整的系统，它可以通过自身与外界环境的接触来改善自身对信号处理的性能。
通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传输的环境和要求，无须详细知道信号的结构和实际知识，无须精确设计处理系统本身。
自适应系统的非线性特性主要是由系统对不同的信号环境实现自身参数的调整来确定的。
自适应系统的时变特性主要是由其自适应响应或自适应学习过程来确定的，当自适应过程结束和系统不再进行时，有一类自适应系统可成为线性系统，并称为线性自适应系统，因为这类系统便于设计且易于数学处理，所以实际应用广泛。
本文研究的自适应滤波器就是这类滤波器。
自适应信号处理的应用领域包括通信、雷达、声纳、地震学、导航系统、生物医学和工业控制等。
自适应滤波器是相对固定滤波器而言的，固定滤波器属于经典滤波器，它滤波的频率是固定的，自适应滤波器滤波的频率则是自动适应输入信号而变化的，所以其适用范围更广。
在没有任何关于信号和噪声的先验知识的条件下，自适应滤波器利用前一时刻已获得的滤波器参数来自动调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随机变化的统计特性，从而实现最优滤波。
自适应滤波器出现以后，发展很快。
由于设计简单、性能最佳，自适应滤波器是目前数字滤波器领域是活跃的分支，也是数字滤波器研究的热点。
主要自适应滤波器有：递推最小二乘（RLS）滤波器、最小均方差（LMS）滤波器、格型滤波器、无限冲激响应（IIR）滤波器。
其中RLS滤波器具有稳定的自适应行为而且算法简单，收敛性能良好。
实际情况中，由于信号和噪声的统计特性常常未知或无法获知，这就为自适应滤波器提供广阔的应用空间、系统辨识、噪声对消、自适应谱线增强、通信信道的自适应均衡、线性预测、自适应天线阵列等是自适应滤波器的主要应用领域。
2自适应滤波器设计原理自适应滤波器是以最小均方误差为准则，由自适应算法通过调整滤波器系数，以达到最优滤波的时变最佳滤波器. 设计自适应滤波器时，可以不必预先知道信号与噪声的自相关函数，在滤波过程中，即使噪声与信号的自相关函数随时间缓慢变化，滤波器也能自动适应，自动调节到满足均方误差最小的要求。
自适应滤波器主要由参数可调的数字滤波器和调整滤波器系数的自适应算法两部分构成自适应滤波器的一般结构如图1所示。
参数可调数字滤波器可以是FIR滤波器或IIR数字滤波器，也可以是格形滤波器。
图1中d(n)为期望响应，x(n)为自适应滤波器的输入，y(n)为自适应滤波器的输出，e(n)为估计误差，e(n)=d(n)-y(n)，前置级完成跟踪信号的选择，确定是信号还是噪声；后置级根据前置级的不同选择对数字滤波器输出作不同的处理，以得到信号输出。
自适应滤波器的滤波器系数受误差信号e(n)控制，e(n)通过某种自适应算法对l滤波器参数进行调整，最终使e(n)的均方值最小。
因此，实际上，自适应滤波器是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器，在设计时不需要实现知道关于输入信号和噪声的统计特性的知识，它能够在自己的工作过程中逐渐“了解”或估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自己的参数，以达到最佳滤波效果。
一旦输入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动调整参数，使滤波器性能重新达到最佳。
图1自适应滤波器的一般结构图3自适应滤波器的结构及算法3.1自适应滤波器结构自适应滤波器的结构有FIR和IIR两种。
FIR滤波器是一种非递归系统，即当前输出样本仅是过去和现在输入样本的函数，其冲击响应是一个有限长序，并且仅在原点处有极点；IIR滤波器是递归系统，即当前输出样本是过去输出和过去输入样本的函数，并且其冲击响应具有无限的持续时间。
因为FIR滤波器除原点外，只有零点没有极点，因此其具有很好的线性相位，即这种滤波器不会给信号带来相位失真，而IIR的相位响应是非线性的；另外，由于FIR滤波器是非递归的，稳定性比较好，而IIR滤波器的稳定性不能得到保证，并且实现起来也比较复杂；由于IIR滤波器存在稳定性的问题，并且实现起来也比较复杂。
因此本设计采用FIR滤波器。
自适应FIR滤波器结构又可分为3种结构类型：横向型结构、对称横向型结构以及格形结构，由于FIR滤波器横向结构的算法具有容易实现、计算量少等优点，在对线性相位要求不严格、收敛速度不是很快的场合，多采用FIR作为自适应滤波器横向结构。
故本设计采用这种FIR横向滤波器结构作为自适应滤波器的结构，如图2示图2FIR横向滤波器结构图设其中X(n)=[x(n),x(n-1),……,x(n-N+1)]T，为自适应滤波器的输入矢量；W(n)=[w0(n),w1(n),……,wn-1(n)]T是权系数矢量，即自适应滤波器的冲激响应；y(n)为自适应滤波器的输出矢量。
T为矩阵转置符，n为时间序列，N为滤波器的阶数。
自适应滤波器除包括一个按照某种结构设计的滤波器外，还有一套自适应的算法。
自适算法是根据某种判断来设计滤波器的。
该算法包括最小均方算法（LMS）、最小高阶均方算法（LMF）、最小平方算法（OLS ）、递推最小算法（RLS ）等等。
下面我们先讨论各种自适应算法的原理及性能比较。
3.2自适应算法及性能分析3.2.1自适应算法的基本概念自适应算法是解决参数未知，时变系统控制问题的有力工具。
人们通过迫使被控对象跟踪特性理想的参考模型，来获得要求的闭环系统性能，这一控制形式已在许多控制领域得到应用。
常用的自适应算法有:SMI(SampledMatrixInversion ，抽样矩阵求逆);甩RLS(RecursiveLeastSquares ，递归最小平方);LMs(LeastMeanSquares ，最小均方);DDLMS(DecisionDirectedLeastMeanSquares ，判决直接最小均方);CMA(Constantmodulusalgorithm ，常系数算法)。
3.2.1.1算法描述(l)SMI 算法SM 工算法的性能准则是使参考信号)(n d 和阵列输出信号)(n y 之间的均方误差最小。
误差公式为:)()()()()()(n x n w n d n y n d n e H -=-=误差的平方可展开为:)()()()()()()()()()(|)(|)()(|)(|22n w n x n x n w n d n x n w n w n x n d n d n e n e n e H H H H H H +--==定义相关矩阵为: )}()({)},()({n d n x E r n x n x E R H xd H x ==其均方误差为: ){)(})(Re{2|)(|}|)({|22n w R n w r n w n d k e E x H xd H +-=要使均方误差最小，则:0)(22})|{|(2=+-=∇n w R r n E x d x w由此求得最佳加权矢量为:xd x opt r R n w 1)(-=，即为著名的最优解—“维纳解”。
统计相关值x R 。
和xd r 己是未知的，但可由信号的抽样值来估算相关性。
具体方 法是:对输入信号矢量和参考信号都取K 个抽样值，则输入信号形成MxK 矩阵， 用X 表示，则自相关矩阵x R 的估计值为:H x XX KR 1=互相关矩阵xd r 己的估计值为: ∑==K n xd n d n x K r 1)()(1ˆ 自适应加权矢量可用估计值计算为:xdx r R n w ˆ)(= 另外，求相关矩阵的估计值时可以不必除以K ，最终得到的加权值仍正确，即:xd x xd xK n xd xxd x x r R r K R K n w n d n x Krxd r R r K R K R K 1111)ˆ()ˆ()()()(ˆˆ)ˆ(1)ˆ(ˆ--=-====-=∑（2）LMS 算法LMs 算法的性能准则是采用瞬时平方误差性能函数|e(k)|2代替均方误差性能函数E{|e(k)|2},其实质是以当前输出误差、当前参考信号和当前权系数求得下个时刻的权系数。
其输出信号y(k)、输出误差e(k)及权系数W(k)的计算公式为:)()()()()(2)()1()()()()()()(k n k x k d k X k n W k W k y k d k e k X k W k y e T +=+=+-==μ 式中X(k)表示第k 时刻参考信号矢量，)]1()1(),([)(+--=M k n k n k n k X ,k 为迭代次数,M 为滤波器的阶数。
d(k)表示第k 时刻的输入信号矢量,y(k)、e(k)分别表示第k 时刻的输出信号与输出误差,W(k)表示k 时刻权系数矢量,W(k)=[W(k,0),W(k,1)…W(k,M-1)]。
μ表示LMS 算法步长收敛因子。
自适应滤波器收敛的条件是max 10λμ≤≤。
其中max λ是输入信号的自相关矩阵R 的最大特征值。
μ的选取必须在收敛速度和失调之间取得较好的折中,既要具有较快的收敛速度,又要使稳态误差最小。
它控制了算法稳定性和自适应速度，如果产很小，算法的自适应速度会很慢;如果μ很大，算法会变得不稳定。
由于LMS 算法结构简单、计算量小、稳定性好,因此被广泛应用于系统辨识、信号增强、自适应波束形成、噪声消除以及控制领域等。
（3）DDLMS 算法DDLMS 算法的特点是使用判决方法生成参考信号。
阵列输出的信号经过解调后进行二值判决，生成参考信号，这是在比特速率下进行的判决。
由于该算法不适合于本设计，在此不深入阐述。
（4）CMA 算法CMA 算法是一种盲自适应算法，即不需要参考信号。
其迭代算法如下:)()(]|)(|1[)()(*)()()1(2k x k y k y k e k e k x k w k w -=-=+μ该算法的收敛性在理论上无法保障。
同时该算法的另外一个缺陷是，如果有一个较大的干扰信号，则该算法往往收敛到一个错误的信号上。
综上所述，LMS ，SMI,CMA,DDLMS 算法都具有收敛性，但SMI 算法比LMS 算法收敛速度快，LMS ，SMI,DDLMS 都需要参考信号，且SMI 算法较复杂，CMA 算法理论上可能不收敛。