φ(37)＝T(37)＝31735>21510，
此时完成订单任务的最短时间大于21510. .
③当 k<2 时，T1(x)<T2(x)，由于 k 为正整数， 故 k＝1，此时 f(x)＝max{T2(x)，T3(x)}＝max{2 0x00， 10705－0 x}．
由函数 T2(x)，T3(x)的单调性知， 当20x00＝10705－0 x时 f(x)取得最小值，
g(x)＝x－22＋xP202＋＋27Px520＋3x＋xP＋22ax（2Pa1－≤8x4（≤76， ≤xx∈ ≤N12），x∈N）， 然后依据题设目标的函数模型的结构特征应用恰 当的方法解决问题．
例2某品牌饮料公司是 2008 北京奥运会的合
作单位，该公司生产某种口味的饮料，每件产品的 成本为 3 元，同时每件产品需向 2008 北京组委会 交纳广告费和管理费共 a 元，预测当每件产品的售 价为 x 元时，奥运会期间的销售量为(12－x)2 万件．
(1)求该公司奥运会期间的利润 f(x)(万元)与每件产 品的售价 x 的函数关系式； (2)北京奥运会组委会根据以往各届奥运会的有关 数据分析，结合中国国情，与该饮料公司会商约定，
广告费和管理费 a∈[3，5]，每件产品售价 x∈[9， 11]，试问当每件产品的售价为多少时，该公司奥 运会期间的利润 f(x)最大，并求 f(x)的最大值 s(a)．
(3)数学建模：把握实际问题中的关键信息，通过恰当的 联想、化归，根据实际问题实质建立变量或参数间的数 学关系，实现实际问题数学化，通过引进数学符号，从 而构建数学模型．常用的数学模型有方程、不等式、函 数和数列等．
(4)求解模型：以所学的数学知识为工具，对建立的数学 模型进行求解．
(5)检验评价：将所求的结果代回模型之中检验，并与实 际情况比较，确定模型的有效性．
(1)设生产A部件的人数为x，2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的 值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具 体的人数分组方案．
【解析】(1)设完成 A，B，C 三种部件的生产 任务需要的时间(单位：天)分别为 T1(x)，T2(x)， T3(x)，由题设有
当 7≤x≤12(x∈N)时，f(x)＝27－x， 此 时 ， 库 容 总 量 ＝ a ＋ 99 ＋ 20 ＋ 19 ＋ … ＋ (27 － x) ＝ －x2＋53x＋2a－84
2
x22＋P02＋7x2＋xP2a（1≤x≤6，x∈N） ∴g(x)＝－x2＋2P503＋x＋2x2Pa－84（7≤x≤12，x∈N）.
(1)求第 x 个月水库含污比 g(x)的表达式(含污
污染物含量 比＝ 库容总量 )；
(2)当 P0＝0 时，求水质最差的月份及此月份的 含污比．
【解析】(1)第 x 月水库含污染物 P0＋xP， 库容总量＝a＋f(1)＋f(2)＋…＋f(x) 当 1≤x≤6(x∈N)时，f(x)＝13＋x， 此时库容量＝a＋14＋15＋…＋(13＋x)＝a＋ （14＋123＋x）·x＝x2＋272x＋2a，
因此 f(x)max＝f(6＋23a)＝4(3－13a)3
9（6－a） 所以 s(a)＝4（3－13a）3
（3≤a＜92） （92≤a≤5）
故若 3≤a＜92，则当每件售价为 9 元时，公司奥 运会期间利润最大，且最大利润为 s(a)＝9(6－a)(万 元)，若92≤a≤5，则当每件售价为(6＋23a)元时，公司
1．函数、不等式模型 函数模型：实际问题中涉及具有关联性的两个 变量存在某种对应关系，适合应用函数建模；或实 际问题中已经给出函数，问题求解需要重组或新建 函数关系式，也适合函数模型． 常见的函数模型 一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k≠0)；反比例函
数模型：f(x)＝kx＋b(k≠0)； 二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；指数
奥运会期间利润最大，且最大利润为 s(a)＝4(3－13a)3 万元．
第25讲 函数、不等式模型实际应用问题
1．考题展望
函数、不等式模型及应用是新课标新增内容，因此 新高考进一步加大了对应用意识和创新意识的考查 力度．这些试题源于生活，背景公平，设问新颖， 能很好地考查学生应用意识和创新意识以及分析问 题和解决问题的能力．函数、不等式模型及应用通 常是一小一大，求解时一般要利用导数或均值不等 式等知识．
【解析】(1)依题设 f(x)＝(x－3－a)(12－x)2(x＞0)． (2)f′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)(18＋ 2a－3x) 令 f′(x)＝0，得 x＝6＋32a 或 x＝12(舍去)
因为 3≤a≤5，所以 8≤6＋23a≤238，
又在 x＝6＋23a 两侧 f′(x)的值由正值变为负值，
②当 k>2 时，T1(x)>T2(x)，由于 k 为正整数，
故 k≥3，此时记 T(x)＝530－75x，
φ(x)＝maxT1（x），T（x）， 易知 T(x)为增函数，则 f(x)＝maxT1（x），T3（x）≥maxT1（x），T（x）
＝φ(x)＝max1
0x00，5307－5x.
由函数 T1(x)，T(x)的单调性知， 当1 0x00＝5307－5x时 φ(x)取得最小值， 解得 x＝41010. 由于 36<41010<37，而 φ(36)＝T1(36)＝2590>21510，
度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可 以击中它？请说明理由．
【解析】(1)在 y＝kx－210(1＋k2)x2(k＞0)中，
令 y＝0，得 kx－210(1＋k2)x2＝0. 由实际意义和题设条件知 x＞0，k＞0.
∴x＝12＋0kk2＝1k2＋0k≤220＝10， 当且仅当 k＝1 时取等号．∴炮的最大射程是 10 千米．
【命题立意】本题主要考查函数、方程和基本不等式等 知识，考查阅读理解能力和应用意识．
考题2(2012湖南)某企业接到生产3 000台某产品的A，B， C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分 别为2，2，1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A部 件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排 200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件 的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正 整数)．
2．高考真题 考题1(2012 江苏)如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单 位长度为 1 千米．某炮位于坐标原 点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝
kx－210(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其
中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高
2．数学模型建立的主要步骤
(1)理解问题：通过阅读理解、弄清问题的实际背景， 明白问题反映的基本量和基本量之间的关系，并转化为 用数学语言来描述．
(2)简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中 反映的基本量的实质，并对问题作必要的简化，有时要 给出一些恰当的假设，精选问题中关键词和主要的变 量．
1．函数模型实际应用问题
例1某水库年初的存水量为 a(a≥10 000)，其中
污染物的含量为 P0，该年每月流入水库的净水量 与月份 x 的关系是 f(x)＝20－|x－7|(1≤x≤12， n∈N)，且每月流入水库的污水量为 r，其中污染 物的含量为 P(P＜r)，又每月水库的蒸发量也为 r(假设水与污染物能充分混合，且污染物不蒸发， 该年水库中的水不作它用)．
解得 x＝81010.
类似①的讨论．
此 时 完 成 订 单 任 务 的 最 短 时 间 为 2590 ， 大 于
21510. 综上所述，当 k＝2 时完成订单任务的时间最
短，此时生产 A，B，C 三种部件的人数分别为 44， 88，68.
【命题立意】本题为函数的应用题，主要考查分段函 数、函数单调性、最值等知识，考查运算能力及应用 数学知识分析解决实际应用问题的能力．考查分类讨 论思想．
T1(x)＝2×63x000＝1 0x00，T2(x)＝2 k0x00，
T3(x)＝200－1（510＋0 k）x， 其中 x，kx，200－(1＋k)x 均为 1 到 200 之间 的正整数．
(2)完成订单任务的时间为 f(x)＝max{T1(x)， T2(x)，T3(x)}，其定义域为{x|0<x<12＋00k，x∈N*}．
易知，T1(x)，T2(x)为减函数，T3(x)为增函数．
注意到 T2(x)＝2kT1(x)，于是
①当 k＝2 时，T1(x)＝T2(x)，此时
f(x)
＝
max{T1(x)
，
T3(x)}
＝
max{
1
000 x
，
20105－003x}，
由函数 T1(x)，T3(x)的单调性知， 当1 0x00＝20105－003x时 f(x)取得最小值， 解得 x＝4090. 由于 44<4090<45，而 f(44)＝T1(44)＝21510， f(45)＝T3(45)＝31030，f(44)<f(45)． 故当 x＝44 时完成订单任务的时间最短， 且最短时间为 f(44)＝21510.
(2)∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，
使 ka－210(1＋k2)a2＝3.2 成立， 即关于 k 的方程 a2k2－20ak＋a2＋64＝0 有正根． 由 Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 得 a≤6. 此时，k＝20a＋ （－20a）2a22－4a2（a2＋64）＞0(不 考虑另一根)． ∴当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标．
当 x＝12 时，g(x)max＝20142＋P a， ∵a≥10 000，20142＋P a＞19182＋P2a， ∴ 水 质 量 最 差 的 是 12 月 份 ， 其 含 污 比 为 20142＋P a.