第1讲 三角函数与平面向量A 组 基础达标1.若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________．2.已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________.3.(2019·榆林模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin A ＝________．4.若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________．5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，那么φ＝________．(第5题)6.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.8.(2019·湖北百校联考)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3.(1) 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2) 求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值．B 组 能力提升1.计算：3cos10°－1sin170°＝________．2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，那么ω的最小值为________．4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论：①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增；④ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号)5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2) 求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示，其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π.(1) 求M ，ω的值；(2) 若函数g (x )＝f (x )·cos x ，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上的最大值和最小值．(第6题)第2讲 解三角形与平面向量A 组 基础达标1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．2.在△ABC 中，若AC ＝3，3sin A ＝2sin B ，且cos C ＝14，则AB ＝________．3.(2019·全国卷Ⅱ)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．4.在△ABC 中，D 是BC 边上的点，AD 平分∠BAC ，若△ABD 的面积是△ADC 的面积的2倍，则sin B sin C＝________．5.(2019·苏州三市、苏北四市二调)在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC的面积为23，那么AB 的长为________．6.(2019·南京学情调研)已知△ABC 的面积为315，且AC －AB ＝2，cos A ＝－14，那么BC 的长为________．7.在△ABC 中，若AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD的值为________．8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C . (1) 求cos B 的值； (2) 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6值.B 组 能力提升1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 外接圆的面积为________．2.如图，在△ABC 中，若D 是AB 边上的点，且满足AD ＝3BD ，AD ＋AC ＝BD ＋BC ＝2，CD ＝2，则cos A ＝________．(第2题)3.在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使得∠BDC ＝π4，则CD ＝________．4.(2019·临川中学)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C ，3b ＝2a ，2≤a 2＋ac ≤18，若△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是________．5.(2019·无锡期末)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .(1) 求角C 的大小；(2) 若c ＝3，求△ABC 的周长的取值范围．6.如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20km 和50km ，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信号，8s 后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1) 设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求出x 的值； (2) 求P 到海防警戒线AC 的距离．(第6题)第1讲空间中的平行与垂直关系A组基础达标1.能保证直线a与平面α平行的条件是________．(填序号)①b⊂α，a∥b；②b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c；③b⊂α，A，B∈a，C，D∈b且AC＝BD；④a⊄α，bα，a∥b.2.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列说法中错误的是________．(填序号)①垂直于平面β的平面一定平行于平面α；②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α；③垂直于平面β的平面一定平行于直线l；④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直．3.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出以下四个命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是________．(填序号)4.已知l，m是平面α外两条不同的直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________．5.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中的“可换命题”是________．(填序号)6.(2019·南方凤凰台密题)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为底边的等腰三角形，D，E，F分别是PC，AC，BC的中点．(1) 求证：平面DEF∥平面PAB；(2) 求证：AB⊥PC.(第6题)7.(2019·南通最后一卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别是棱AB，PC的中点．(1) 求证：EF∥平面PAD；(2) 若EF⊥平面PCD，求证：PA＝AD.（第7题）B组能力提升1.(2019·江苏冲刺卷)如图，BD是圆O的直径，C是圆周上不同于点B，D的任意一点，AB⊥平面BCD，E为AB的中点．(1) 求证：OE∥平面ACD；(2) 求证：平面ACD⊥平面ABC.(第1题)2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1) 若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2) 点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使得PA∥平面MQB.(第2题)3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为菱形，AB＝AC＝BC，D，E，F分别为A1B1，CC1，AA1的中点．(1) 求证：DE∥平面A1BC；(2) 若平面ABC⊥平面AA1B1B，求证：AB1⊥CF.(第3题)4.(2019·南通阶段性测试)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.(1) 求证：BD⊥AA1；(2) 若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.(第4题)第2讲立体几何中的算、证、求问题A组基础达标1.若圆锥的底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．2.已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，那么三棱锥B1－ABC1的体积为________．3.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若V1V2＝3π，则S1S2＝________．4.(2019·苏州大学考前指导卷)已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，那么该凸多面体的体积V＝________．（第4题）5.(2019南京、盐城一模)如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，若E ，F 分别为AB ，PC 的中点，则三棱锥B －EFC 的体积为________．（第5题）6.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AC ，PC 的中点，若PA ＝2，AB ＝1，则三棱锥C －PED 的体积为________．（第6题）7.(2019·苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为________．(第7题)8.如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1) 求证：BC ∥平面PAD ；(2) 若△PCD 的面积为27，求四棱锥P －ABCD 的体积．(第8题)B 组 能力提升1.(2019·泰州期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1－MBC 的体积V 1，四棱锥A 1－BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________.(第1题)2.(2019·苏州最后一卷)如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是________cm.(第2题)3.(2019·南京三模)有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a ，b ，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．4.若将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为________．5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC ＝2，AA1＝ 2.(1) 求证：B1C∥平面A1BM；(2) 求证：AC1⊥平面A1BM；(3) 在棱BB1上是否存在一点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由．（第5题）6.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝ 3.(1) 求证：DE⊥平面ACD；(2) 设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．（第6题）第1讲 三个二次的关系A 组 基础达标1.不等式2x ＋1<1的解集是________．2.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．3.若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．4.已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围是________.5.(2019·福建名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是________．6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x －1x，x ＞0，那么满足f (a ＋2)<f (a )的实数a 的取值范围是________．7.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么不等式f (x ＋2)<5的解集是________．8.解下列关于x的不等式：ax2－2x＋a<0(a∈R).9.已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n.(1) 若m＝－1，n＝2，求b，c的值；(2) 若b＝c＋1，解不等式f(x)>0.B 组 能力提升1.(2019·常州中学)已知一元二次不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥3，那么f (e x )>0的解集为________．2.(2019·苏州三市、苏北四市二调)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，那么c 2＋5a ＋b的最小值为________．3.(2019·菏泽月考)若关于x 的不等式x ＋a x≤b (a ，b ∈R )的解集为{x |x <0或1≤x ≤2}，则a b的值为________．4.(2019·郑州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若关于x 的不等式(f (x ))2＋af (x )－b 2＜0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是________．5.某厂以x kg/h 的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是50⎝⎛⎭⎪⎫5x －3x＋1元．(1) 要使生产该产品2h 获得的利润不低于1500元，求x 的取值范围；(2) 要使生产480kg 该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．6.已知函数f (x )＝x 2－mx ＋m －1.(1) 当x ∈[2，4]时，f (x )≥－1恒成立，求实数m 的取值范围；(2) 是否存在整数a ，b (其中a ，b 是常数，且a ＜b )，使得关于x 的不等式a ≤f (x )≤b 的解集为{x |a ≤x ≤b }？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．第2讲 基本不等式与恒成立、存在性问题A 组 基础达标1.当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为________．2.(2019·安庆一模改编)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，那么1a ＋2b的最小值为________．3.(2019·青岛期末)若函数f (x )＝x ＋mx －1(m 为大于0的常数)在(1，＋∞)上的最小值为3，则实数m ＝________．4.某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的泳池，池的深度为1m ，池的四周墙壁建造单价为400元/m ，中间一条隔壁建造单价为100元/m ，池底建造单价为60元/m 2(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为________m 时，可使总造价最低．5.已知a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．6.如图，已知正方形OABC ，其中OA ＝a (a ＞1)，函数y ＝3x 2交BC 于点P ，函数y ＝x —12交AB 于点Q ，当AQ ＋CP 最小时，a 的值为________．（第6题）7.(2019·南京、盐城一模)若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c 的最大值为________．8.某油库的容量为31万吨，年初储油量为10万吨，从年初起计划每月初先购进石油m(单位：万吨)，然后再调出一部分石油来满足区域内和区域外的需求．若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y(单位：万吨)与x的函数关系式为y＝5＋px(p>0，1≤x≤10，x∈N*).已知前4个月区域外的需求量为15万吨．(1) 试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M(x)(单位：万吨)的函数表达式；(2) 要使油库中的石油在前10个月内任何时候都不超出油库的容量，又能满足区域内和区域外的需求，求m的取值范围．B 组 能力提升1.(2019·常州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y x＝1，那么1x ＋xy的最小值为________．2.(2019·长沙质检)如图，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为________． （第2题）3.(2019·北京东城区质检)若对任意的x ∈R ，不等式3x 2－2ax ≥|x |－34恒成立，则实数a 的取值范围是________.4.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3a ，g (x )＝2x －1.若对任意的x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f (x 1)|≤g (x 2)成立，则实数a 的值为________．5.已知函数f (x )＝－3x＋a3x ＋1＋b ，且函数f (x )是定义在R 上的奇函数．(1) 存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )<f (2t 2－k )有解，求实数k 的取值范围；(2) 若函数g (x )满足f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，若对任意的x ∈R ，不等式g (2x )≥mg (x )－11恒成立，求实数m 的最大值．6.已知函数f (x )＝x 2－2a ln x (a ∈R )，g (x )＝2ax . (1) 求函数f (x )的极值；(2) 若0<a <1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立，求实数a 的取值范围．第1讲 函数的图象与性质A 组 基础达标1.已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，那么三个零点之和为________．2.若函数f (x )＝4x－ax ·2x 为奇函数，则实数a ＝________.3.若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2<x ≤3，则f (a ＋1)＝________．4.已知偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，那么{x |f (x －2)>0}＝________．5.(2019·通州、海门、启东期末)已知函数f (x )的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，2＜x ≤4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为________．6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则实数a 的取值范围是________.7.如图，已知直线y ＝kx 与函数y ＝6x的图象交于A ，B 两点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，BC 分别与函数y ＝2x和y ＝3x交于D ，E 两点，连接AD .当AD ∥x 轴时，线段CE 的长度为________．(第7题)8.(2019·海安中学)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x，x ≤0，2－|x －1|，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________．9.已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数． (1) 求证：对任意的x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0； (2) 若f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．B 组 能力提升1.(2019·启东一中)已知函数y 1＝x 3与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________．2.(2019·南方凤凰台密题)已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，那么f (x 2－2x )＜f (2－x )的解集是________．3.设f (x )是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(－2，2]上，其函数解析式是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－2<x ≤0，|1－x |，0<x ≤2，其中a ∈R .若f (－5)＝f (5)，则f (2a )＝________． 4.已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，x ≤3，12x －1，x ＞3，若函数g (x )＝f (x )－ax 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．6.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ，a ，b ∈R .(1) 若f (x )在区间[1，2]上的值域也是[1，2]，求a ，b 的值；(2) 若对任意的x 都有f (x －2)＝f (－x )，且y ＝f (f (x ))有且只有2个零点，求实数b 的取值范围．7.(2019·新海高级中学)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b <1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f (x )＝g （x ）x. (1) 求a ，b 的值； (2) 方程f (|2x－1|)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2|2x －1|－3＝0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．第2讲 导数及其应用A 组 基础达标1.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝a ln x ＋x 在x ＝a 处的切线过原点，则实数a 的值为________．2.(2019·海门中学)若函数f (x )＝ax －3x的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．3.(2019·南菁中学)已知f (x )在R 上连续可导，f ′(x )为其导函数，且f (x )＝e x ＋e －x－f ′(1)x ·(e x－e －x)，那么f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝________.4.(2019·南通一中)若函数f (x )＝ax 2＋(1－a )x ＋2x是奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的倾斜角为________．5.若函数f (x )＝e x＋x 的零点在区间(k －1，k )(k ∈R )内，则k ＝________．6．(2019·南方凤凰台密题)已知幂函数f (x )＝x a经过点(9，3)，那么该函数在点(9，3)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．7.(2019·江苏百校大联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x ，x ≥1，x ，x ＜1，那么不等式f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的解集是____________．8.若点P ，Q 分别在函数y ＝e x，y ＝ln x 的图象上，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．9.(2019·南方凤凰台密题)已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x .(1) 当a ＝1时，求y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程； (2) 当a >0时，若f (x )的极大值为－54，求a 的值．B 组 能力提升1.(2019·南师附中)将函数y ＝e x(e 为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O 顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则tan θ＝________．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，那么点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．3.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a x －4，x ＜0，2x ，x ＞0的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是________．4.(2019·启东联考)设函数h (x )的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，n ]D ，使得h (x )在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n ]，则称h (x )为“倍胀函数”．若函数f (x )＝a x(a >1)为“倍胀函数”，则实数a 的取值范围是________．5.(2019·徐州考前模拟)已知函数f (x )＝x －1x＋a ln x .(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为3，求实数a 的值； (2) 若函数f (x )在区间[1，2]上存在极小值，求实数a 的取值范围； (3) 如果f (x )＜0的解集中只有一个整数，求实数a 的取值范围．6.(2019·南方凤凰台密题)已知g (t )＝(t ＋1)ln t －(t －1)ln b ，t ∈(1，＋∞). (1) 求证：若0<b ≤e 2，对任意的t ∈(1，＋∞)，g (t )>0；(2) 当b >e 2时，判断g (t )在(1，＋∞)上存在几个零点，并说明理由．第1讲 直线与圆A 组 基础达标1.(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为____________．2.(2019·启东模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx (k >0)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，若AO →＝2OB →，则实数k 的值为________．3.已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，那么圆C 的标准方程为____________.4.在平面直角坐标系xOy 中，直线ax ＋y －2a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点．若弦AB 中点的横坐标为25，则实数a 的取值集合为________．5.在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋y 2－2x ＋ay ＝0与曲线x 2－y 2＝0有2个公共点，则实数a 的值是________．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 与直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，那么圆C 的标准方程为____________．7.(2019·苏锡常镇调研)过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最短时，△PAB 的面积为________．8.已知函数f (x )＝－34x ＋1x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图象的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值是________．9.已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.(1) 若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2) 若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．B 组 能力提升1.已知直线l ：kx －y －k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －7＝0相交于A ，B 两点，那么AB 的最小值为________.2.(2019·南方凤凰台密题)已知直线x ＝－y ＋a 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋a ＝0相交于A ，B 两点，若CA →·CB →<0，则实数a 的取值范围为________．3.(2019·苏州大学考前指导卷)若过点P (－1，1)作圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1(t ∈R )的切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →的最小值为________．4.(2019·苏州最后一卷)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点．且满足AP ⊥BP ，那么点P 的纵坐标的取值范围是________．5.(2019·海门高三模拟)如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝4与x 轴的左、右交点分别为A ，B ，与y 轴正半轴的交点为D .(1) 若直线l 过点(2，4)且与圆C 相切，求直线l 的方程；(2) 若点M ，N 是圆C 上第一象限内的点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于点P ，Q ，点P 是线段OQ 的中点，直线MN ∥BD ，求直线AM 的斜率．（第5题）6.(2019·启东考前综合题)已知圆C 1经过两点E (－2，0)，F (－4，2)，且圆心C 1在直线l ：2x －y ＋8＝0上．(1) 求圆C 1的方程；(2) 求过点G (－2，－4)且与圆C 1相切的直线方程；(3) 设圆C 1与x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆C 1上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于M ，N 两点．当点P 变化时，以MN 为直径的圆C 2是否经过圆C 1内一定点？并证明你的结论．第2讲 圆锥曲线A 组 基础达标1.(2019·武汉调研)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的渐近线方程为3x ±y ＝0，那么b ＝________．2.(2019·厦门质检)若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝________．3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为53，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为12，那么椭圆的短轴长为________．4.(2019·南方凤凰台密题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：4x －3y ＋10＝0垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝－40x 的准线上，那么双曲线的方程为____________．5.若双曲线M 的焦点是F 1，F 2，且双曲线M 上存在一点P ，使得△PF 1F 2是有一个内角为2π3的等腰三角形，则双曲线M 的离心率是________．6.(2019·全国卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为椭圆C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则点M 的坐标为________．7.(2019·百校大联考)已知双曲线的两个焦点分别为F 1，F 2，若以F 1F 2为边作正方形F 1F 2MN ，且此双曲线恰好经过边F 1N 和F 2M 的中点，则此双曲线的离心率为________．8.(2019·郑州三测)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足PF 1·PF 2＝－a 2，则双曲线离心率的取值范围为________．9.(2019·苏州最后一卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且△PF 1F 2面积的最大值为 3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设斜率不为零的直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，求直线PQ 的斜率.B 组 能力提升1.(2019·南方凤凰台密题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过点F 2作x 轴的垂线交双曲线于点P ，若PF 1＝3OP ，则双曲线C 的离心率为________．2.(2019·苏州最后一卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M .若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为________．3.(2019·泰州中学)如图，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个顶点为A (a ，0)，B (0，b )，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆M 于D ，C 两点(不同于顶点)，若BC ＝3AD ，则椭圆M的离心率为________．（第3题）4.(2019·南通四模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点(0，－3)，点F 是椭圆C 的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，过点F 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程．（第4题）5.(2019·曲塘中学)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以椭圆的两个焦点与一个短轴端点为顶点的三角形的面积为2 2.(1) 求椭圆的方程；(2) 如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线x ＝1所得的弦的长度为5，求直线l 的方程．（第5题）第1讲 等差数列、等比数列A 组 基础达标1.(2019·南昌一模)已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝________．2.(2019·厦门一模)在等比数列{a n }中，已知a 2＝1，a 3a 5＝2a 7，则a n ＝________．3.(2019·潍坊二模)在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 5＝8a 2，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝1023，则n ＝________.4.(2019·郑州三模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)(n ∈N *)，a 1a 2a 3＝－27，则a 5＝________．5.(2019·泰州期末)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，那么a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．6.(2019·苏锡常镇调研(一))中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为________．7.(2019·镇江期末)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，前n 项和为S n ，且数列{S n ＋n }也是公差为d 的等差数列，那么d ＝________．8.(2019·深圳二调)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，当n ≥2时，有S n ＋S n －1－2S n S n －1＝2na n ，则使得S 1S 2·…·S m ≥2019成立的正整数m 的最小值为________．9.(2019·唐山摸底)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3a n －12.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .B 组 能力提升1.(2019·海门中学)已知数列{a n }与⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n n 均为等差数列，且a 1＝2，那么a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 323＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n________．2.已知数列a n ＝1n （n ＋1）的前n 项和为S n ，若S 1，S m ，S n 成等比数列(m ＞1)，则正整数n 的值为________.3.(2019·海安中学)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，若存在常数u ，v 对任意的正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，则u ＋v ＝________．4.已知函数f (x )＝x －1x，数列{a n }是公比大于0的等比数列，且a 6＝1，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 9)＋f (a 10)＝－a 1，那么a 1＝________．5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m (m ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝S n －3n ，n ∈N *.(1) 求证：数列{b n }是等比数列；(2) 若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求实数m 的最小值．6.(2019·南方凤凰台密题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝Aa 2n ＋Ba n ＋C . (1) 若数列{a n }为等差数列，且满足a 2＝3，S 5＝25，求实数A ，B ，C 的值． (2) 若A ＝0，B ＝2，C ＝－2. ①求数列{a n }的通项公式；②若数列{c n}满足c n＝a n＋1a n，试问：数列{c n}中是否存在三项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，请说明理由．第2讲 数列的递推关系与求和A 组 基础达标1.(2019·南方凤凰台密题)若等差数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且(2n ＋1)S 2n －1＝(2n －1)a 2n ，则a 8的值是________．2.(2019·南京三模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3n －1，n ∈N *.若b n ＝log 3a n ，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4的值为__________．3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a 28 －a 22 ＝36，那么a 11＝________． 4.若S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）(n ∈N *)，且S n S n ＋1＝56，则n ＝________．5.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1，前n 项和为S n ，那么S n ＝________．6.若数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________．7.已知数列{a n }满足a 1＝34，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ＝________．8.(2019·太原期末)已知数列{a n }为等差数列，a n ≠1(n ∈N *)，a 1＋a 2019＝1，若f (x )＝2xx －1，则f (a 1)·f (a 2)·…·f (a 2019)＝__________．9.已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2.(1) 求T n －S n ；(2) 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 的前n 项和R n .B 组 能力提升1.(2019·山西二模)计算：12＋12＋4＋12＋4＋6＋12＋4＋6＋8＋…＋12＋4＋6＋…＋2018＝________．2.(2019·长沙二模)已知函数f (x )＝ax 2－1的图象在点A (1，f (1))处的切线与直线x ＋8y ＝0垂直，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）的前n 项和为S n ，则S n ＝________．3.(2019·九江一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n＝a n ，那么数列{b n }的通项公式为b n ＝________．4.(2019·合肥一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，n ＋（－1）n·n 2(n ∈N *)，记△A 2n －1A 2n A 2n ＋1的面积为S n ，则∑ni ＝1S i ＝________．5.已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和． (1) 若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式；(2) 若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3) 在(2)的条件下，设c n ＝a nb n，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．6.(2019·南方凤凰台密题)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝qa n (n∈N *，q >0). (1) 求数列{na n }的前n 项和S n ；(2) 设b n ＝ln a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，对于给定的正整数m ，若对任意正整数n 都有T （m ＋1）nT mn为定值，求q 的值．。