DBA C α立体几何第三课 §用传统方法求距离和角度一、知识点1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①作平行四边形对边； ②作三角形中位线；（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）二面角的范围是],0(π，作二面角的平面角常有三种方法①定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③射影面积法：θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角) 2．空间的距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长． 常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长，“一找二证三求”；②等体积法锥体体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）二、例题1、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 例题1证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=2、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --例题2证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD （2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角 在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=3、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。

例题3CA DB OE（I ）证明：连结OC,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC = 222,AO CO AC ∴+=90,oAOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD （II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，11,1,222EM AB OE DC ==== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠= ∴异面直线AB 与CD所成角的大小为arccos 4 （III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h ,11 (3)3E ACD A CDE ACDCDE V V h S AO S --∆∆=∴= 在ACD ∆中，2,CA CD AD ===122ACD S ∆∴==而211,22CDE AO S ∆===1.CDEACDAO S h S ∆∆∴===∴点E 到平面ACD的距离为74．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱1CC 上的点，且12CN C N ＝。

（Ⅰ）求二面角1B AM N --的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点1B 到平面AMN 的距离。

例题4：（Ⅰ）因为M 是底面BC 边上的中点，所以AM ⊥BC ，又AM ⊥C 1C ,所以AM ⊥面BC 1C 1B ，从而AM ⊥1B M , AM ⊥NM ，所以∠1B MN 为二面角，1B —AM —N 的平面角。

又1B2==,MN56==,连1B N ，得1B N＝==，在∆1B MN中，由余弦定理得222111152510cos 2B M MN B N B MN B M MN +-+-==1B —AM —N （Ⅱ）过1B 在面11BCC B 内作直线1B H MN ⊥，H 为垂足。

又AM ⊥平面11BCC B ，所以AM ⊥1B H 。

于是1B H ⊥平面AMN ，故1B H 即为1B 到平面AMN 的距离。

在11R B HM ∆中，1B H ＝1B M 151sin 1125B MH =⨯-=。

故点1B 到平面AMN 的距离为1。

5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。

（1）求证：PB DM ⊥；（2）求CD 与平面ADMN 所成的角。

(3)求 BD 与平面 ADMN 所成的角。

例题5（I ）因为N 是PB 的中点，PA PB =，所以AN PB ⊥.因为AD ⊥平面PAB ，所以AD PB ⊥，从而PB ⊥平面ADMN .因为DM ⊂平面ADMN ，所以PB DM ⊥.（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则//BG CD ，所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等.因为PB ⊥平面ADMN ，所以BGN ∠是BG 与平面ADMN 所成的角.在Rt BGN ∆中，10sin 5BN BNG BG ∠==.故CD 与平面ADMN 所成的角是10arcsin 5.（3）连结DN ， 因为PB ⊥平面ADMN ，所以∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角. 在Rt BDN ∆中, 1sin ,2BN BDN BD ∆==故BD 与平面ADMN 所成的角是6π.6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AD AA AB ===点E 在线段AB 上.（Ⅰ）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（Ⅱ）若二面角1D EC D --的大小为45︒，求点B 到平面1D EC 的距离. 例题6（Ⅰ）连结1AD 。

由已知，11AA D D 是正方形，有11AD A D ⊥。

∵AB ⊥平面11AA D D ，∴1AD 是1D E 在平面11AA D D 内的射影。

根据三垂线定理，11AD D E ⊥得，则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒。

作DF CE ⊥，垂足为F ，连结1D F ，则1CE D F ⊥所以1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角，145DFD ∠=︒.于是111,2DF DD D F ===易得Rt Rt BCE CDF ∆≅∆，所以2CE CD ==，又1BC =，所以3BE =。

设点B 到1DA BCD E1A1B1C平面1D EC 的距离为h .∵1,B CED D BCE V V --=即1111113232CE D F h BE BC DD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴11CE D F h BE BC DD ⋅⋅=⋅⋅，即223h =，∴64h =. 故点B 到平面1D EC 的距离为64。

7. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2a ，AB = a ，F 为CD 的中点. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ； （Ⅱ）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD 和面BCE 所成二面角的大小.例题7（Ⅰ）∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ∴DE ⊥AF 。

又∵AC=AD=C ，F 为CD 中点∴AF ⊥CD ，∴AF ⊥面CDE ∴AF ⊥平面CDE 。

（Ⅱ）∵AB DE ACD AB ACD DE //⇒⎭⎬⎫⊥⊥平面平面取DE 中点M ，连结AM 、CM ，则四边形AMEB 为平行四边形AM//BE ，则∠CAM 为AC 与BE 所成的角。

在△ACM 中，AC=2aa a a DM AD AM 542222=+=+=a a a DM CD CM 542222=+=+=由余弦定理得：55522)5()5()2(cos 222=⨯⨯-+=∠aa a a a CAM ∴异面直线AC 、AE 所成的角的余弦值为55。

（Ⅲ）延长DA 。

EB 交于点G ，连结CG 。

因为AB//DE ，AB=21DE ，所以A 为GD 中点。

又因为F 为CD 中点，所以CG//AF 。

因为AF ⊥平面CDE ，所以CG ⊥平面CDE 。

故∠DCE 为面ACD 和面BCE 所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。

8. 如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ，（Ⅰ）证明：AC//平面PMD ； （Ⅱ）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； （Ⅲ）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小。

例题8（Ⅰ）证明：如图1，取PD 的中点E ，连EO ，EM 。