【知识探究】 探究点 反证法与放缩法 1.用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能? 提示:①与原命题的条件矛盾; ②与假设矛盾; ③与定义、公理、定理、性质矛盾; ④与客观事实矛盾.
2.用反证法证明命题“若p则q”时, ¬q假,q即为真吗? 提示:是的.在证明数学问题时,要证明的结论要么正确, 要么错误,二者中居其一, ¬q是q的反面,若¬q为假,则 q必为真.
【即时小测】
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作
为条件使用 ( )
(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理
等.(4)原结论.
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(1)(2)(3)
D.(1)(2)(4)
【解析】选C.根据反证法的定义可知,用反证法证明过 程中,可应用(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、 公理、定理等推出矛盾.
3.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项. (2)在分式中增大或减小分子或分母. (3)应用重要不等式放缩,如a2+b2≥2ab,
(4a )b 利 用a 函b ， 数a 的b 单( a 调 b 性) 2 等， a . b c 3 a b c ( a ,b ,c ＞ 0 ) . 2 23
所以( )2=0,所以 ,即a=c.
a－ c
a= c
从而a=b=c,这与已知中a,b,c不成等差数列矛盾,
所以原假设错误,故
不成等差数列.
a, b, c
类型二 利用反证法证明“至少”“至多”型问题
【典例】已知f(x)=x2+px+q,求证:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .
【变式训练】1.(2016·泰安高二检测)用反证法证明
命题“如果a>b,那么
”时,假设的内容是( )
3 a＞3 b
A.3 a 3 b成立 B.3 a＜3 b成 立 C.3 a 3 b或 3 a＜3 b成 立 D.3 a 3 b且 3 a＜3 b成 立
【解析】选C.结论 3 a＞3 b
成立.
原命题成立 (2)适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命 题,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问 题,常常用反证法证明.
2.放缩法
(1)方法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分
的值_____或_____,简化不等式,从而达到证明的目 放大 缩小
的,我们把这种方法称为放缩法.
(2)关键:放大(缩小)要适当.
1 2
【解题探究】典例(2)中待证结论的反设是什么?
提示:反设是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 1 . 2
【证明】(1)由于f(x)=x2+px+q,
所以f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,
则(2-a)·c·(2-b)·a·(2-c)·b>1 ①,
因为0<a<2,0<b<2,0<c<2,
所以(2-a)·a≤
=1.
同理:(2-b)·b≤1( ,2(2a2-c)a·)2 c≤1.
所以(2-a)·a·(2-b)·b·(2-c)·c≤1, 这与①式矛盾. 所以假设不成立. 即:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1.
2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB> ∠APC,求证:∠BAP<∠CAP用反证法证明时的假设为 __________________.
【解析】反证法对结论的否定是全面否定, ∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或 ∠BAP>∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.
1
则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,(*)
2
又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2. 所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2与(*)矛盾,假设不 成立. 故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .
【归纳总结】 1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假 设
常见 至少有 至多有 词语 一个 一个
唯一 一个
不 是
不可 能
全
都是
否定 假设
一个也 没有
有两个或 两个以上
没有或有 两个或 两个以上
是
有或 存在
不 全
不都 是
2.放缩法证明不等式的理论依据 (1)不等式的传递性. (2)等量加不等量为不等量. (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.
类型一 利用反证法证明否定性命题 【典例】设0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:(2-a)·c, (2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1. 【解题探究】典例中待证结论的反面是什么?
提示:待证结论的反面为 2 a c ＞ 1 ,
2
b
a
＞
1,Βιβλιοθήκη 2cb＞
1
,
【证明】假设(2-a)·c>1,(2-b)·a>1,(2-c)·b>1,
3 a＜3 b
的否定是
3a3b 或
2.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列.
求证:
不成等差数列.
a, b, c
【证明】假设
成等差数列,则
即a+c+a, b,=4c b,
又三a个c正数2ab,， b,c成等比2数a列c ,所以b2=ac,即b= .
ac
所以a+c+2a c =4 a c ,即a+c-2 =a c0,
【自主预习】
1.反证法
(1)方法:先假设_________________,以此为出发点,结 要证的命题不成立
合已知条件,应用_______________________等,进行正 确的推理,得到和_公__理__、__定__义__、(或定已理证、明性的质定理、性
命题的条件
质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正 确,从而证明___________,我们把它称为反证法.
【方法技巧】 1.用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾. (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
2.否定性不等式的证法及关注点 当待证不等式的结论为否定性命题时,常采用反证法来 证明,对结论的否定要全面不能遗漏,最后的结论可以 与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.