数学来源于人类的生产实践活动，即来源 于原始人捕获猎物和分配猎物、丈量土地 和测量容积、计算时间和制造器皿等实践， 并随着人类社会生产力的发展而发展。一 般说来，可以从三个时期来大致了解数学 的发展。
一、初等数学时期
数学与人类文明相伴而生，经过漫长时间 的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富 的有关数和形的感性知识。数学知识在古 巴比伦、埃及、印度和中国产生，并形成 系统的数学知识体系。
The Declaration of Rio sets three aims : - The great challenges of 21st Century - Mathematics, a key for Development - The image of mathematics
伦敦地铁的数学海报
对于阿拉伯文化来说，数学是外来的学问，在伊 斯兰教创立之前，只有极简单的计算方法。七世 纪时，通过波斯传进了印度式计算法。后来开始 翻译欧几里得、阿基米得等人的希腊数学著作。 花拉子模著的《代数学》成为阿拉伯代数学的范 例。在翻译时代(大约850年之前)过去之后，是 众多数学家表现创造才能著书立说的时代(1200 年之前)。梅雅姆、纳速·拉丁、阿尔·卡西等等， 使阿拉伯数学在11世纪达到顶点。
七月：让数学告诉你机遇（maths even the odds）
八月：数学展翅翱翔（maths takes off）
九月：数学解读生命玄机（maths is vital）
十月：数学“密电码”（maths breaks the code）
十一月：数学波澜（maths makes waves）
数：自然数、分数、负数、无理数、复数 几何：欧式几何、非欧几何 代数：初等代数、“四元数”-非交换代数、
抽象代数
在数学的进化过程中，几乎没有发生彻底推 翻前人建筑的情况。但是在其他学科情况就 大不相同，比如：
天文学：从“地心说”到“日心说”
物理学：从“以太说”到“相对论”
化学： 从“燃素说”到“氧化说”
数学史
A History of Mathematics
纪志刚 上海交通大学科学史系
人生几何，大哉言数
数学思想发展的历史巡礼--
引子
人生有几何， 为何学几何？ 学了几何几何用？ 不学几何又几何！
--20世纪30年代的“打油诗”
First encounter between East and West:1607
第三件大事是微积分学的建立，最重要的工作是 由牛顿和莱布尼兹各自独立完成的。
17世纪的数学，发生了许多深刻的、明显的变革。 在数学的活动范围方面，数学教育扩大了，从事 数学工作的人迅速增加，数学著作在较广的范围 内得到传播，而且建立了各种学会。在数学的传 统方面，从形的研究转向了数的研究，代数占据 了主导地位。在数学发展的趋势方面，开始了科 学数学化的过程。最早出现的是力学的数学化， 它以1687年牛顿写的《自然哲学的数学原理》为 代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力 学定律逐个地、必然地引申出来。
“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代 人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。 唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加 一层楼”
--H. Hankel,1894
数学史并不是单纯数学成就的编年记录。数学的 发展可谓“历经艰辛”：有犹豫徘徊、有危机冲 突，……。这是这些，构成了数学发展的恢宏画卷。 遗憾的是，现在的教科书是以定理到定理的形式 包装起来的，无法展示数学创造的真实过程。
罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化。 公元前47年，罗马人焚毁了亚历山大里亚 图书馆，两个半世纪以来收集的藏书和50 万份手稿付之一炬。基督教徒又焚毁了希 腊神庙，大约30万种手稿被焚。公元640 年，回教徒征服埃及，残留的书籍被阿拉 伯征服者焚毁。由于外族入侵和古希腊后 期数学本身缺少活力，希腊数学衰落了。
周公曰：大哉言数。 …… ---《周髀算经》
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五
“几何”完善于希腊，“算术”则是东方的 强项，二者通过“代数”结合在一起后， “解析几何”就诞生了（笛卡儿），进而微 积分的出现就是历史的必然产物（牛顿、莱 布尼兹），和着工业革命，数学进入了新的 时代— “分析”的时代（18-20世纪）。
下学工夫，有理有事。 此书为益。能令学理者 怯其浮气，练其精心； 学事者资其定法，发其 巧思，故举世无一人不 当学。……
—徐光启《几何原本杂议》
历史的警示
1607年，利玛窦和徐光启合译《几何原 本》，西方数学第一次传入中国。徐光启 认为此书“由显入微，从疑得信，盖不用 为用，众用所基。”（《刻几何原本 序》），又希望“百年之后，必人人习之， 即又以为习之晚也”（《几何原本杂 议》）。
二、变量数学时期
变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年 代。这一时期的主要成果是解析几何、微 积分、高等代数等学科，它们构成了现代 大学数学课程(非数学专业)的主要内容。
十六、十七世纪，欧洲封建社会开始解体，代之 而起的是资本主义社会。由于资本主义工场手工 业的繁荣和向机器生产的过渡，以及航海、军事 等的发展，促使技术科学和数学急速向前发展。 原来的初等数学已经不能满足实践的需要，在数 学研究中自然而然地就引入了变量与函数的概念， 从此数学进入了变量数学时期。
十二月：大哉言数（maths is for ever）
大哉数学！
自然科学
工程技术
医药卫生
哲学思想
政治学说
经济理论逻辑思维ຫໍສະໝຸດ 音乐、建筑艺术、美学
战争、军事
1 什么是数学—历史的理解
“万物皆数”—毕达哥拉斯学派 “数学是量的科学”—亚里士多德 “凡是以研究顺序和度量为目的的科学都
与数学有关”—笛卡尔 “纯粹数学的对象是现实世界的空间形式
(2)提出一个假设，它包含所观察各量之间的数学关 系式；
(3)从这个假设推导出某些能够实际验证的结果 (4)进行实验观测—改变条件—再现测，并把观察结
果尽可能地用数值表示以来； (5)以实验结果来肯定或否定所提的假设； (6)以肯定的假设为起点，提出新假设，再度使新假
设接受检验。
第二件大事是笛卡儿的解析几何
一月：自然之数（maths counts)
二月：数学漩涡（maths stirs…）
三月：混沌中的数学（maths predicts）
四月：数学也很“酷”：（maths is cool--突变理论）
五月：太阳黑子的数学之谜（maths hots up）
六月：数学联通天下（maths connects）
1200年之后，阿拉伯数学进入衰退时期。初期的 阿拉伯数学在12世纪被译为拉丁文，传播到西欧， 使西欧人重新了解到希腊数学。
15世纪开始了欧洲的文艺复兴。随着拜占 庭帝国的瓦解，大批学者带着希腊典籍的 回到意大利。大约在这个世纪的中叶，受 中国人发明的影响，改进了印刷术，彻底 变革了书籍的出版条件，加速了知识的传 播。在这个世纪末，哥伦布发现了美洲， 不久麦哲伦船队完成了环球航行。在商业、 航海、天文学和测量学的影响下，西欧作 为初等数学的发展中心，终于后来居上。
与度量关系”—恩格斯
“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思 维。也就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且 必须通过定义而明确地、有秩序地与先前建立和 存在的概念相联系” --康托（1883）
“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个 命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对 同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是 否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟 是什么，……只要我们的假定是关于一般的事物， 而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成 为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科， 我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所 说的内容是否正确。” --罗素（1901）
从5世纪到15世纪，数学发展的中心转移到 了东方的印度、阿拉伯国家和中国。在这 1000多年时间里，数学主要是由于计算的 需要，特别是由于天文学的需要而得到迅 速发展。和以前的希腊数学家大多数是哲 学家不同，东方的数学家大多数是天文学 家。从公元6世纪到17世纪初，初等数学在 各个地区之间交流，并且取得了重大进展。
未曾想，300年后却有此打油诗：是幽默？ 是无奈？还是中国人就不懂数学？
“几何”乃人类思维之灵魂
我请读者透过各个年代考察一下“几何”这门学 科的效果。人们看到它渐渐地，很慢但有把握地 取得了这样的权威，即任何一项研究、任何一项 实验都倾向它，不屈不挠地向它借取严谨的步骤、 对‘材料’的精打细算、细致的方法，而这种慎 之又慎使它可以从事最“胆大妄为”的事业。现 代科学就是从这堂庑宏大的教育中产生的。结果， 从机械技术、应用科学、战争或和平的手段等观 点来看，世界各地区之间的不平等就出现了。欧 洲人的优势就是建立在这个不平等之上的。
到了公元前三世纪，希腊几何学的出现成 为第一个转折点，数学从此由具体的、实 验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段， 开始创立初等数学。此后又经过不断的发 展和交流，最后形成了几何、算术、代数、 三角等独立学科。这一时期的成果可以用 “初等数学”(即常量数学)来概括，它大致 相当于现在中小学数学课本的主要内容。
[“数学]这个领域已被称作模式的科学 （science of pattern），其目的是要揭 示人们从自然界和数学本身的抽象世界中 所观察到的结构和对称性”
--Renewing US Mathematics:
A Plan for 1900’s
2 数学史的意义
与其他知识部门相比，数学是一门“历史 性”很强的学科：基本概念、基本方法几 乎亘古未变，即使重大的数学理论也总是 在继承和发展原有理论的基础上建立起来 的。
阿拉伯数学指阿拉伯科学繁荣时期(公元8 至15世纪)在阿拉伯语的文献中看到的数学。 七世纪以后，阿拉伯语言不仅是阿拉伯国 家的语言，而且成为近东、中东、中亚细 亚许多国家的官方语言。阿拉伯数学有三 个特点：实践性；与天文学有密切关系； 对古典著作做大量的注释。它的表现形式 和写文章一样，不用符号，连数目也用阿 拉伯语的数词书写，而“阿拉伯数字”仅 用于实际计算和表格。