微积分期末复习题Newly compiled on November 23, 2020掌握等价（高阶，低阶，同阶）无穷小的概念和判别1. 0x →时，与 2sin x 等价的无穷小量是________。
A ．ln(1)x + B.21tan 2x C.2(1cos )x - D.31x e - 2. 若0x →时，2sin sin 2k x x x -，则k =________。
A ．1B ．2C ．3D ．43. 当0x →时，与x 等价的无穷小量是________。
A ．sin x x B.2sin x x + C.2x4. 当0x →时，2sin 2x x β=+与x α=的关系是________。
A. β与α是同阶但不等价无穷小量 B ．β与α是等价的无穷小量C.β是比α较高阶的无穷小量 D ．β是比α较低价的无穷小量5. 当0x →时，2ln(1+x 的________无穷小量。
求极限的一般方法：(1) 利用极限的四则运算法则（注意前提条件） (2) 利用无穷小的运算法则（无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小）；利用无穷小与无穷大的关系；(3) 利用两个重要极限；1sin lim 0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim (4) 利用等价无穷小代换；（当0x →时，21cos 2x x -,()11x x αα+-sin arcsin tan x x x x ()arctan ln 11x x x e +-）（注意什么时候能等价无穷小代换） (5) 洛比达法则（0,0∞∞且lim f g ''广义存在）求未定式0,,0,0∞⋅∞∞-∞∞的极限 求幂指函数v u 的极限的方法：（1）若为1∞型，可利用第二个重要极限或者求lim(1)u v a -=，则lim v a u e =；（2）通用的方法：恒等变形ln v v u u e ⋅= 掌握()lim ()x p x q x →∞的计算（关键看分子分母的最高次幂和最高次幂前的系数） 6.设函数3(), 3x f x a x x ≥=+<⎪⎩，已知3lim ()x f x →存在，则a =________。
7. 设函数()x f x x=，则0lim ()x f x →_______。
（若改2()x x f x x +=呢） A ．1- B.0 C.1 D.不存在8. 若2212lim 21x x x a x →+-=-，则a =________。
A ．等于2 B ．等于3 C ．可取任意整数 D ．不能判断9.求极限 11lim sin sin x x x x x →∞⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭和011lim sin sin x x x x x →⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭10. 求极限111lim x x x -→（或形式为1lim x → 11. 求极限0sin 35lim ln(15x x x x →-+）12. 求极限111lim 1ln x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 13. 求极限求极限20sin lim (1)x x x x x e →-- 14.求极限11lim 1x x →-（方法：根式有理化，变量替换，罗比达法则） 15．322lim 2x x x x →∞+ 16．设→∞x 时，无穷小量322111+++++,ax x x b cx dx 求,,,a b c d函数的连续：若()()00lim x x f x f x →=，则称函数()f x 在点0x 处连续． 掌握函数的间断点的找法，并把间断点进行其分类（补充函数在可去间断点的定义使之连续）（找法：无定义的点，极限不存在的点，极限值与函数值不等的点）（分类：左右极限都存在的为第一类----可去间断点，跳跃间断点，否则为第二类---无穷间断点，震荡间断点）（可去间断点可修改或补充函数在间断点0x 的函数值为00()lim ()x x f x f x →=使之连续） 17. 函数 0()ln(1) 0sin k x f x x x x=⎧⎪=+⎨≠⎪⎩ ，若在0=x 处连续，常数k =________。
18. 设()1arctan 00x x f x Ax >⎧=⎨≤⎩，在0x =处连续，则A =________. 19．设21x 0()0x 0x ef x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩当时当时，则____为()f x 的____间断点。
讨论函数21x>0()0x 0x ef x ⎧⎪=⎨⎪≤⎩当时当时在此点的左右连续性。
20．函数22()(1)x x f x x x -=-，点1x =-是()f x 的____间断点；点0x =是()f x _____间断点，点1x =是()f x 的____间断点。
21. 函数22()1x x f x x -=-的可去间断点为____，要使函数在此点连续，则需补充定义(1)f =_____。
初等函数在定义区间上都是连续的闭区间上连续函数的性质：函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则：(1) ()f x 在[,]a b 上有界；(2) ()f x 在[,]a b 上取到最大值和最小值（最值定理）；(3) 若()()0f a f b ⋅<，则存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=（零点定理）。
（可证明方程有根）第二三章 导数及其应用（也包含简单的抽象函数的导数计算） 导数的四则运算复合函数的导数（由外到内，逐层求导）隐函数的导数（方程两边分别对变量x 求导，整理得y '，注意碰到y 的时候把y 看作x 的函数）（注意：y '中可能含有y ，若求0x x y ='怎么代值）对数求导法（针对于幂指函数的导数和多个因式连乘，除，开方这样的函数的导数）（做法：先取对数，再按照隐函数的导数做） 参数方程决定的函数的导数dydy dt dxdx dt= 会求函数的2阶导数可微的充要条件和微分的求法dy y dx '=特殊函数的高阶导数第二章1. 求1arctan y x=的导数与微分。
2. 求由方程0x e xy e +-=所确定的隐函数()y f x =的导数和微分及d 1d y x x =，1dy x =。
3. 求由方程2xy e x y e =++-所确定的隐函数()y f x =的导数d d y x 。
4.求函数(21)y x =+同） 5. 已知cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩，求dy dx 和2t dy dx π=。
6. 设3sin y x =，求22d y dx 。
7. 设3()f x y e =，求y ''=________。
8. 设f 可微，求函数()x y f e =的微分。
若改()(sin )f x y f x e =呢三个中值定理的条件，结论及其应用，ξ的求法（罗尔定理可证明方程有根，注意与零点定理的区别）（三个中值定理都可以证明中值问题，从结果逆推，把含ξ所有项都挪到等号的左边，再观察）会求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点会求函数的渐近线（特别是分式函数的）第三章1. 设223y x x =--在区间[1,3]-上满足罗尔中值定理，则满足定理条件的ξ=______。
（类似可把题目换为满足拉格朗日定理）2. p63 T5（类似可把题目换为满足拉格朗日定理的是，不满足罗尔定理的是）3. 求函数3223y x x =-的单调区间，凹凸区间，拐点，极值点，极值。
4. 函数1xe y x=+的垂直渐近线为________，共有___条渐近线。
5. 曲线3223x y x x =+-的斜渐近线为________，共有___条渐近线。
第四章 不定积分原函数和不定积分的概念函数先积分后求导（微分）和先求导（微分）后积分（关键是知道原函数与不定积分的概念）不定积分的性质：加法和数乘换元积分法（第一换元法：被积函数为(())()f x x ϕϕ'⋅，第二换元法：被积函数带根号，或是分母次数高于分子次数的有理函数）分部积分法（反对幂指三，前面的为u ，后面的是v '，公式udv uv vdu =-⎰⎰）1. P92 T42. ()()df x '=⎰ ()()f x dx '=⎰3. 若()x f x dx xe C =+⎰，则()f x =________。
若改为2()1x f x dx xe C x=++⎰呢 4. 若函数sin 2()x f x +的导函数是()F x ，则()F x dx =⎰________。
5. 已知()sin 2f x x =，则⎰='dx x f )(________。
6. 求积分2x xe dx ⎰和x xe dx ⎰7.求积分3sin cos x xdx ⎰ 和 2cos ⎰xdx8. 求积分ln xdx ⎰ 第五章 微分方程初步解，通解和特解的概念一阶线性微分方程的求解（可变量分离的---分离变量再积分，齐次微分方程---换元变为可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解公式为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰）（通解和特解） 1. 下列哪个是方程2y x '=的通解A ．2y x c =+ B. 22y x =+ C. 2y x c =+ D. 21y x =+2. 求微分方程xy y y x xy +'=+的特解，满足(1)1y =。
3. 求微分方程22sin x y y x x'+=的通解。
4. 求微分方程(1ln ln )xy y y x '=+-的通解。
5. 求微分方程45xy y x '=+的通解。
证明题1. 证明方程0cos sin -=x x x 在(0, )2π内必有实根。
2. 证明：方程016323=-+-x x x 在区间)1,0(内有唯一的实根。
3. 设()f x 在01[,]上连续，在01(,)内可导，且(0)(1)0f f ==，证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξξ'=-4. 证明：arcsin arccos 2x x π+=，(1,1)x ∈- 5. 证明：当0x >时，ln(1)x x >+。