7. 频响函数的估计（相干分析）7.1. SISO 系统的频响函数及其估计对于SISO 系统，其频响函数的估计有很多计算方法，主要的有三种估计式。

在没有噪声污染的情况下，它们的估计是等价的。

但是实际上，由于不可避免的存在噪声，三种估计有所差异。

本节讨论在主要的三种噪声污染下，三种传统估计式与真值之间的误差。

7.1.1. 随机激励下的频响函数考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。

设随机输入和响应信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY ，则有()()()ωωωX H Y =上式两端乘以()ω*X ，取时间平均及集合平均，并注意()ωH 与平均无关，则()()[]()()()[]ωωωωω**1lim 1limX X T H X Y T T T ∞→∞→= 即()()()ωωωx xy S H S =如果()ωx S 不为零，则可得系统的频响函数的第一种计算式()()()ωωωx xy S S H =1同样，如果在系统输入/出频谱式两端乘以()ω*Y ，取时间平均和集合平均，得()()()ωωωyx y S H S =如果()ωyx S 不为零，则可得系统的频响函数的第二种计算式()()()ωωωyx y S S H =2将系统输入/出频谱式两端取共轭，得()()()ωωω***X H Y =乘以原输入/出频谱式，并去时间平均和集合平均，得()()()ωωωx y S H S 2=可得系统的频响函数的幅值计算式()()()ωωωx y a S S H =27.1.2. 频响函数的估计方法考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。

设系统的实际输入和响应信号分别为)(t u 和)(t v ，其傅立叶变换分别为)(ωU 和)(ωV ，它们的测量信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY 。

(1)输出端噪声的影响若只有输出端受到噪声信号)(t n 的污染，并设它与系统的)(t u 和)(t v 无关。

则有()()t u t x =()()ωωU X = ()()()t n t v t y += ()()()ωωωN V Y +=A 、第一估计式根据第一估计式的定义，有()()()()()[]()()()[]()()[]()()()()()()()ωωωωωωωωωωωωωωωωωu un uv u xn xv u T x T x xy S S S S S S S X N T X V T S X Y TS S H +=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+===∞→∞→***111lim 1limˆ由于噪声)(t n 与激励)(t u ，亦即)(t x 无关，故根据大数定律，平均次数足够多时()ωun S 为零，则()()()()ωωωω11ˆH S S H u uv == 结果表明：只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第一估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的无偏估计。

B 、第二估计式根据第二估计式的定义，有()()()()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωnu vu n nv vn v nx vx n nv vn v T T T T yx y S S S S S S S S S S S S N X T V X T N N T N V T V N T V V T Y X TY Y TS S H ++++=++++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++===∞→∞→∞→∞→********211lim 1111lim 1lim 1limˆ由于噪声)(t n 与响应)(t v ，以及激励)(t u 亦即)(t x 无关，故根据大数定律，平均次数足够多时()ωvn S 、()ωnv S 和()ωun S 都为零，则()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=ωωωωωωωv n vu n v S S H S S S H 1ˆ22 式中，()()()ωωωvu v S S H =2 可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的有偏估计，是过估计。

C 、 第三估计式根据第二估计式的定义，有()()()()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()()()()()()()()()ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωu n nv vn v u n nv vn v T T T T x y aS S S S S S S S S S U U T N N T N V T V N T V V T X X TY Y TS S H +++=+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++===∞→∞→∞→∞→*******21lim 1111lim 1lim 1limˆ 由于噪声)(t n 与响应)(t v 无关，故根据大数定律，平均次数足够多时()ωvn S 和()ωnv S 都为零，则()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=ωωωωωωωv n a u n v aS S H S S S H 1ˆ22式中，()()()ωωωu v a S S H =2可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第三估计式得到的频响函数幅值的估计是实际频响函数幅值的有偏估计，也是过估计。

因此，只有输出响应受到噪声污染时，频响函数的三种估计式有如下关系：()()()()ωωωω21H H H H a <<=(2)输入端噪声的影响若只有输入端受到噪声信号)(t m 的污染，并设它与系统的)(t u 和)(t v 无关。

则有()()()t m t u t x += ()()()ωωωM U X +=()()t v t y = ()()ωωV Y =A 、第一估计式根据第一估计式的定义，有()()()()()()()()()ωωωωωωωωωu mm u uv x xy S S H S S S S S H +=+==1ˆ11结果表明：只有输入端激励受到噪声污染时，通过平均，根据第一估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的欠估计。

B 、第二估计式根据第二估计式的定义，有()()()()()()ωωωωωω22ˆH S S S S H vu v yx y === 可见，只有输入端激励受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的无偏估计。

C 、第三估计式根据第二估计式的定义，有()()()()()()()()()ωωωωωωωωu ma m u v x y aS S H S S S S S H +=+==1ˆ22可见，只有输入端激励受到噪声污染时，通过平均，根据第三估计式得到的频响函数幅值的估计是实际频响函数幅值的有偏估计，也是欠估计。

所以，只有输入激励受到噪声污染时，频响函数的三种估计式有如下关系：()()()()ωωωω21H H H H a =<<(3)输入/输出端复合噪声的影响若系统的输入/输出端分别受到噪声信号)(t m /)(t n 的污染，并设它们与系统的)(t u 和)(t v 无关。

则有()()()t m t u t x += ()()()ωωωM U X += ()()()t n t v t y +=()()()ωωωN V Y +=A 、第一估计式根据第一估计式的定义，可以推得()()()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ωωωωωωωωωωu m u m u uv x xy S S H S S S S S S H 11ˆ11可见，在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染时，通过平均，根据第一估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的欠估计，并且与响应信号中的噪声无关。

B 、 第二估计式同理，根据第二估计式的定义，可以推导出()()()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==ωωωωωωωωωωv n v n vu v yx y S S H S S S S S S H 11ˆ22上式表明，在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的有偏估计，是过估计，并且与系统的输入噪声无关。

C 、第三估计式根据第二估计式的定义，可以推得()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++==ωωωωωωωωωωωωωωωωωωu m v n a u m v n u v m u n v x y aS S S S H S S S S S S S S S S S S H 1111ˆ22进一步分析上式，可以得出下述结论：在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染时，通过平均，根据第三估计式得到的频响函数幅值的估计()ωaHˆ是较()ω1ˆH 和()ω2ˆH 都更为接近实际频响函数幅值()ωH 的估计。

因此，在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染的情况下，频响函数的三种估计式有如下关系：()()()()ωωωω21H H H H a <≈<综上所述，根据上述所有分析过程，可以进一步获得以下几点结论：（1）频响函数的第一估计式可以抑制输出响应噪声，第二估计式则可以抑制系统的输入激励噪声；（2）在各种噪声情况下，第一、第二估计式给出了实际频响函数的范围：()()()ωωω21H H H ≤≤；（3）在受到噪声的情况下，第三估计式虽然与实际频响函数最为接近，但是由于它只能给出频响幅值的估计，无法获得相频特性信息，故在实际中很少使用；7.1.3. 常相干函数根据上面的第二点综合结论，可知：()()1021≤≤ωωH H将第一、二无估计式代入上式，可知：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω21*221H H S S S S S S S S S S S S S S S H H y x yx xy y x xyxy y x xy y x yx xy =====上式成为相干函数，记为()()()()()()ωωωωωωγ2122H H S S S y x xy xy == 根据互谱不等式，显然有，()102≤≤ωγxy如果测试信号不受噪声污染，()ω1H 等于()ω2H ，则()ωγ2xy 等于1。

如果测试信号完全被噪声淹没，()ωγ2xy 将趋于零。