nz oz az
o o
o
T
刚体的姿态可由动坐标 刚体Q在固定坐标系 系的坐标轴方向来表示。 OXYZ中的位置可用齐次 令n、o、a分别为X′、y 坐标形式的一个(4×1)列 ′、z ′坐标轴的单位方 阵表示为： 向矢量，每个单位方向矢 量在固定坐标系上的分量 xo 为动坐标系各坐标轴的方 y 向余弦，用齐次坐标形式 p o zo 的(4×1)列阵分别表示为： 1
T T
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刚体的位姿可用下面(4×4)矩阵来描述：
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
T [n o a
nx n p] y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
xo yo zo 1
对刚体Q位姿的描述就是对固连于刚体Q的坐标系 O`X`Y`Z`位姿的描述。
1 1 1 1
写出坐标系{A`} {A``}的矩阵表达式 内蒙古工业大学—工业机器人
动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为
60o 60o 45o
矢量 u: cosα=0.5, cosβ=0.5, cosγ=0.7071067 u=[0.5 0.5 0.7071067 0]T
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四、动坐标系位姿的描述
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学 动坐标系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的
p [1 1 1 1]T
手部位姿可用矩阵表达为： o o 0 n : 90 , 180 , 90 0 1 0 1 手部坐标系 X` : n 1 , 0, z 0 x y0 Y`轴与 Z`轴的方向可分 cos 1 0 0 1 x 轴方向可用单位 T [n o和 α来表示： p] : 0, z 1 别用单位矢量 y cos 0 ,1 0 n 0yx 1 1 矢量n来表示： 0z cos 0 1 0 n 0 内蒙古工业大学—工业机器人
第二章
工业机器人运动学
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
直角坐标式 圆柱坐标式
球坐标式
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3 3 6 第 2 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学 4 2 5 1 1
4
6 5
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机器人实际上可认为是由一系列关节连接起来的连杆 所组成。我们把坐标系固连在机器人的每一个连杆关节 上，可以用齐次变换来描述这些坐标系之间的相对位置 和方向。
B
XB 的方向矩阵：n=[cos30o cos60o cos90o 0]T =[0.866 0.500 0.000 0]T
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
=[0.000 0.000 1.000 0]T 坐标系的位置列阵： p=[10.0 5.0 0.0 1]T
坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式为：
1955年提出了一种采用矩阵代数的系统而广义的方法， 来描述机器人手臂杆件相对于固定参考坐标系的空间几何。 第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
这种方法使用4×4齐次变换矩阵来描述两个相邻的机 械刚性构件间的空间关系，把正向运动学问题简化为寻求 等价的4×4齐次变换矩阵，此矩阵把手部坐标系的空间位 移与参考坐标系联系起来。并且该矩阵还可用于推导手臂 运动的动力学方程。而逆向运动学问题可采用几种方法来 求解。最常用的是矩阵代数、迭代或几何方法。
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图中矢量ν的方向用(4×1)列阵可表达为：
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
a b c 0T
a cos , b cos , c cos
矢量ν坐落的点O为坐标原点，可用方向用 (4×1)列阵可表达为：
0 0 0 0 1
T
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2.2 齐次坐标及换算
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学 刚体的运动是由转动和平移组成的。为了能用同 一、平移的齐次变换 一矩阵表示转动和平移，有必要引入 的齐次 × x 4) x x '(4 坐标变换矩阵。 y ' y y z ' z z A' T rans (x, y, z) A
描述以及对动坐标系各坐标轴方向的描述：
1、刚体位置和姿态的描述
机器人的一个连杆可以看成一个刚体。若给定了刚体 上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在 空间上是完全确定的。
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o o a a
n nx
x x
ny oy ay
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2.1 齐次坐标及对象物的描述
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一、点的位置描述
在选定的直角坐标系{A},空间任一点P的位置可用 3×1的位置矢量AP表示。
px A p py pz
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二、齐次坐标
x x' 11 0 0 0 0 x x y ' 0 1 0 y y 0 1 0 y T rans (x, yz , ' z ) 00 0 0 1 1 z z z 1 1 00 0 0 0 0 1 1
nx x x n y y p] y nz z z 0 0 0
px py pz 1
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例：手部抓握物体Q，物体为边长2个单位的正立方体， 写出表达该手部位姿的矩阵式。
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学 因为物体Q形心与手部坐标系 0`X`y`z`的坐标原点0’相重合， 所以手部位置的(4x1)列阵为：
齐次变换具有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之 间的关系，所以常用于解决运动学问题。已知关节运动
学参数，求出手部运动学参数是工业机器人正向运动学 问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求 解。
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机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运 第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
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例：动坐标系{A}相对于固定坐标系的X。、y。、z。轴作( 一1，2，2)平移后到{A`}；动坐标系{A}相对于自身坐标系 (即动系)的X、y、Z轴分别作(一1，2，2)平移到{A``}。
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0 1 0 1 0 0 A 0 0 1 0 0 0
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机器人的运动学可用一个开环关节链来建模，此链由数 个刚体(杆件)以驱动器驱动的转动或移动关节串联而成。
1)开环关节链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安 对一给定的机器人，已知杆件几何参数和关节角矢量求 装着工具，用以操作物体或完成装配作业。关节的相对运 机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。 动导致杆件的运动，使手定位于所需的方位上。在很多机 2)已知机器人杆件的几何参数，给定机器人末端执行器相 器人应用问题中，人们感兴趣的是操作机末端执行器相对 对于参考坐标系的期望位置和姿态(位姿)，机器人能否使 于固定参考坐标系的空间描述。 其末端执行器达到这个预期的位姿? 如能达到，那么机器 人有几种不同形态可满足同样的条件?。 内蒙古工业大学—工业机器人
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要规定各种坐标系来
描述机器人与环境的相 对位姿关系。
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{B}代表基坐标系，{T}是工具系，{S}是工作站系， 必须建立机器人各连杆之间，机器人与周围环境之 {G}是目标系，它们之间的位姿关系可用相应的齐次变 间的运动关系，用于描述机器人的操作。 换来描述。
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三、坐标轴方向的描述
i、j、k分别是直角坐标系中x、y、Z坐标轴的单位 第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
向量。若用齐次坐标来描述x、y、z轴的方向，则
X 1 0 0 0 Y 0 1 0 0
规定：
T
T T
Z 0 0 1 0
(4×1)列阵[a b c o]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1， 则表示某轴(某矢量)的方向； (4x1)列阵[a b c w]T中第四个元素不为零，则表示空 间某点的位置。
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45o 90o 45o
矢量 u: cosα=0.7071067, cosβ=0, cosγ=0.7071067 u=[0.7071067 0 0.7071067 0]T
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如用四个数组成(4×1)列阵 第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
px p p y pz 1
表示三维空间直角坐标系{A}中点p，则列阵[px py pz 1]T称为三维空间点p的齐次坐标。 齐次坐标的表示不唯一：
px a p b p y pz c 1 w
动作为时间的函数进行分析研究，而不考虑引起这些运动 的力和力矩。
就是要把机器人的空间位移解析地表示为时间的函数， 特别是要研究关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿 态之间的关系。 运动学就涉及到机器人空间位移作为时间函数的解析 说明，特别是机器人末端执行器位置和姿态与关节变量空
间之间的关系。
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